Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^2+1)(x-1)
-
-x^2*(1-x^4)/(-1-x^4)
-
(x+1)*(7-x)^(1/2)
-
(x^(2)+1)/(x^(2)-1)
-
Expresiones idénticas
- sin^ dos (x)+ dos *cos(dos *+x)
- seno de al cuadrado (x) más 2 multiplicar por coseno de (2 multiplicar por más x)
- seno de en el grado dos (x) más dos multiplicar por coseno de (dos multiplicar por más x)
- sin2(x)+2*cos(2*+x)
- sin2x+2*cos2*+x
- sin²(x)+2*cos(2*+x)
- sin en el grado 2(x)+2*cos(2*+x)
- sin^2(x)+2cos(2+x)
- sin2(x)+2cos(2+x)
- sin2x+2cos2+x
- sin^2x+2cos2+x
-
Expresiones semejantes
- sin^2(x)+2*cos(2*-x)
- sin^2(x)-2*cos(2*+x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin^2*1/x+cos^2*1/x
- sin(sqrt(1-x^2))
- sin(e)^x/(6+log(sin(e))^2+5*log(sin(e)))
- sin(22*x)/x
- sin(x-pi/2)-1
- Coseno cos
- cos(x^5-cot(x)^(2))*(5*x^4+2*cot(x)/sin(x)^(2))
- cos(x+pi/4)-4
- cos(x)/cos(x)2
- cos(x*sqrt(2))+sin(x*sqrt(2))
- cos(x)^(2)+3
Gráfico de la función y = sin^2(x)+2*cos(2*+x)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = sin (x) + 2*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
f = sin(x)^2 + 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{2} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 70.0703549971$$
$$x_{2} = 68.1597217608509$$
$$x_{3} = 76.3535403042795$$
$$x_{4} = 99.5756482967489$$
$$x_{5} = -85.7783182650489$$
$$x_{6} = 96.4340556431591$$
$$x_{7} = 17.8942393034142$$
$$x_{8} = 90.1508703359795$$
$$x_{9} = 79.4951329578693$$
$$x_{10} = 174.973871982904$$
$$x_{11} = -55.5933511464918$$
$$x_{12} = 30.4606099177734$$
$$x_{13} = -542.54021245291$$
$$x_{14} = -83.8676850287999$$
$$x_{15} = -5.32786868905508$$
$$x_{16} = 61.8765364536714$$
$$x_{17} = 38.654428461202$$
$$x_{18} = -24.1774246105938$$
$$x_{19} = 63.7871696899204$$
$$x_{20} = 82.6367256114591$$
$$x_{21} = -98.3446888794081$$
$$x_{22} = -93.2924629895693$$
$$x_{23} = 54.362391729151$$
$$x_{24} = 74.4429070680305$$
$$x_{25} = -41.7960211147918$$
$$x_{26} = 52.451758492902$$
$$x_{27} = -61.8765364536714$$
$$x_{28} = 8.46946134264487$$
$$x_{29} = -54.362391729151$$
$$x_{30} = -17.8942393034142$$
$$x_{31} = 77.5844997216203$$
$$x_{32} = -27.3190172641836$$
$$x_{33} = 98.3446888794081$$
$$x_{34} = 55.5933511464918$$
$$x_{35} = 83.8676850287999$$
$$x_{36} = 60.6455770363306$$
$$x_{37} = 10.3800945788939$$
$$x_{38} = 11.6110539962347$$
$$x_{39} = -60.6455770363306$$
$$x_{40} = -48.0792064219714$$
$$x_{41} = 46.1685731857224$$
$$x_{42} = -4.0969092717143$$
$$x_{43} = -90.1508703359795$$
$$x_{44} = 0.955316618124509$$
$$x_{45} = 198.875653794281$$
$$x_{46} = 26.0880578468429$$
$$x_{47} = -99.5756482967489$$
$$x_{48} = -19.8048725396633$$
$$x_{49} = -13.5216872324837$$
$$x_{50} = -117.194244800947$$
$$x_{51} = 32.3712431540224$$
$$x_{52} = -26.0880578468429$$
$$x_{53} = 87.0092776823897$$
$$x_{54} = -70.0703549971$$
$$x_{55} = 39.8853878785428$$
$$x_{56} = 24.1774246105938$$
$$x_{57} = -63.7871696899204$$
$$x_{58} = 19.8048725396633$$
$$x_{59} = -77.5844997216203$$
$$x_{60} = -35.5128358076122$$
$$x_{61} = 33.6022025713632$$
$$x_{62} = -10.3800945788939$$
$$x_{63} = 2653.69047566525$$
$$x_{64} = -79.4951329578693$$
$$x_{65} = 85.7783182650489$$
$$x_{66} = -92.0615035722285$$
$$x_{67} = -49.3101658393122$$
$$x_{68} = 2.18627603546528$$
$$x_{69} = 44.9376137683816$$
$$x_{70} = 92.0615035722285$$
$$x_{71} = -46.1685731857224$$
$$x_{72} = 48.0792064219714$$
$$x_{73} = -32.3712431540224$$
$$x_{74} = -33.6022025713632$$
$$x_{75} = 41.7960211147918$$
$$x_{76} = -2.18627603546528$$
$$x_{77} = -76.3535403042795$$
$$x_{78} = -71.3013144144407$$
$$x_{79} = -11.6110539962347$$
$$x_{80} = 16.6632798860735$$
$$x_{81} = -68.1597217608509$$
$$x_{82} = 4.0969092717143$$
$$x_{83} = -80.7260923752101$$
$$x_{84} = -39.8853878785428$$
$$x_{85} = -57.5039843827408$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 - 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
$$x_{2} = \frac{i \left(\log{\left(3 \right)} - \log{\left(-1 + 2 \sqrt{2} i \right)}\right)}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 70.0703549971$$
$$x_{2} = 68.1597217608509$$
$$x_{3} = 76.3535403042795$$
$$x_{4} = 99.5756482967489$$
$$x_{5} = -85.7783182650489$$
$$x_{6} = 96.4340556431591$$
$$x_{7} = 17.8942393034142$$
$$x_{8} = 90.1508703359795$$
$$x_{9} = 79.4951329578693$$
$$x_{10} = 174.973871982904$$
$$x_{11} = -55.5933511464918$$
$$x_{12} = 30.4606099177734$$
$$x_{13} = -542.54021245291$$
$$x_{14} = -83.8676850287999$$
$$x_{15} = -5.32786868905508$$
$$x_{16} = 61.8765364536714$$
$$x_{17} = 38.654428461202$$
$$x_{18} = -24.1774246105938$$
$$x_{19} = 63.7871696899204$$
$$x_{20} = 82.6367256114591$$
$$x_{21} = -98.3446888794081$$
$$x_{22} = -93.2924629895693$$
$$x_{23} = 54.362391729151$$
$$x_{24} = 74.4429070680305$$
$$x_{25} = -41.7960211147918$$
$$x_{26} = 52.451758492902$$
$$x_{27} = -61.8765364536714$$
$$x_{28} = 8.46946134264487$$
$$x_{29} = -54.362391729151$$
$$x_{30} = -17.8942393034142$$
$$x_{31} = 77.5844997216203$$
$$x_{32} = -27.3190172641836$$
$$x_{33} = 98.3446888794081$$
$$x_{34} = 55.5933511464918$$
$$x_{35} = 83.8676850287999$$
$$x_{36} = 60.6455770363306$$
$$x_{37} = 10.3800945788939$$
$$x_{38} = 11.6110539962347$$
$$x_{39} = -60.6455770363306$$
$$x_{40} = -48.0792064219714$$
$$x_{41} = 46.1685731857224$$
$$x_{42} = -4.0969092717143$$
$$x_{43} = -90.1508703359795$$
$$x_{44} = 0.955316618124509$$
$$x_{45} = 198.875653794281$$
$$x_{46} = 26.0880578468429$$
$$x_{47} = -99.5756482967489$$
$$x_{48} = -19.8048725396633$$
$$x_{49} = -13.5216872324837$$
$$x_{50} = -117.194244800947$$
$$x_{51} = 32.3712431540224$$
$$x_{52} = -26.0880578468429$$
$$x_{53} = 87.0092776823897$$
$$x_{54} = -70.0703549971$$
$$x_{55} = 39.8853878785428$$
$$x_{56} = 24.1774246105938$$
$$x_{57} = -63.7871696899204$$
$$x_{58} = 19.8048725396633$$
$$x_{59} = -77.5844997216203$$
$$x_{60} = -35.5128358076122$$
$$x_{61} = 33.6022025713632$$
$$x_{62} = -10.3800945788939$$
$$x_{63} = 2653.69047566525$$
$$x_{64} = -79.4951329578693$$
$$x_{65} = 85.7783182650489$$
$$x_{66} = -92.0615035722285$$
$$x_{67} = -49.3101658393122$$
$$x_{68} = 2.18627603546528$$
$$x_{69} = 44.9376137683816$$
$$x_{70} = 92.0615035722285$$
$$x_{71} = -46.1685731857224$$
$$x_{72} = 48.0792064219714$$
$$x_{73} = -32.3712431540224$$
$$x_{74} = -33.6022025713632$$
$$x_{75} = 41.7960211147918$$
$$x_{76} = -2.18627603546528$$
$$x_{77} = -76.3535403042795$$
$$x_{78} = -71.3013144144407$$
$$x_{79} = -11.6110539962347$$
$$x_{80} = 16.6632798860735$$
$$x_{81} = -68.1597217608509$$
$$x_{82} = 4.0969092717143$$
$$x_{83} = -80.7260923752101$$
$$x_{84} = -39.8853878785428$$
$$x_{85} = -57.5039843827408$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)
-pi (----, -1) 2
pi (--, -1) 2
(pi, 2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \pi}{4}, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \pi}{4}, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -2, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)^2 + 2*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par