Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- cos(x)+ cero , cinco *sin(dos *x)
- coseno de (x) más 0,5 multiplicar por seno de (2 multiplicar por x)
- coseno de (x) más cero , cinco multiplicar por seno de (dos multiplicar por x)
- cos(x)+0,5sin(2x)
- cosx+0,5sin2x
-
Expresiones semejantes
- cos(x)-0,5*sin(2*x)
- cosx+0,5*sin(2*x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x*sqrt(5))+sin(x*sqrt(5))
- cos(x)^2/(2*(1+cos(x)^2))
- cos(x)-exp(x)+(0,5)
- cos(1/2*x)
- cos(2*x)+exp(3*x)+sin(2*x)
- Seno sin
- sin(x)+x^2-1
- sin(x/2+pi/2)+4
- sin^2√x-3+cos^2√x-3
- sin(x^2-x)
- sin*3,14x/4
Gráfico de la función y = cos(x)+0,5*sin(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
sin(2*x)
f(x) = cos(x) + --------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$$
f = sin(2*x)/2 + cos(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -89.535441589746$$
$$x_{2} = -7.85396934854081$$
$$x_{3} = 76.9690200129499$$
$$x_{4} = 58.1194640914112$$
$$x_{5} = 14.1371669411541$$
$$x_{6} = -29.845130209103$$
$$x_{7} = 80.1106034946956$$
$$x_{8} = -36.1283155162826$$
$$x_{9} = -58.119532055033$$
$$x_{10} = -95.8185602777545$$
$$x_{11} = -4.71238898038469$$
$$x_{12} = 1.5707963267949$$
$$x_{13} = 73.827311651389$$
$$x_{14} = -83.2520989260588$$
$$x_{15} = 42.4114614973024$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = -51.836262485438$$
$$x_{18} = -86.3937979737193$$
$$x_{19} = 86.3938908510206$$
$$x_{20} = 92.6768899714075$$
$$x_{21} = 4.71247207702943$$
$$x_{22} = 86.3937626449816$$
$$x_{23} = 48.6945895587878$$
$$x_{24} = 7.85398163397448$$
$$x_{25} = -7.8541073681749$$
$$x_{26} = 29.8451758719219$$
$$x_{27} = -61.261056745001$$
$$x_{28} = -73.8274273593601$$
$$x_{29} = 1393.29636850171$$
$$x_{30} = -45.5531406161696$$
$$x_{31} = -14.1372535946994$$
$$x_{32} = -95.8185821748531$$
$$x_{33} = 64.4026493985908$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = -45.553042714615$$
$$x_{36} = -20.4202507419375$$
$$x_{37} = -39.2700111445703$$
$$x_{38} = 4.71228918668806$$
$$x_{39} = 42.4116084929189$$
$$x_{40} = 51.8362787842316$$
$$x_{41} = -48.6946861306418$$
$$x_{42} = -14.1371257126071$$
$$x_{43} = 70.6858347057703$$
$$x_{44} = -83.2523114345838$$
$$x_{45} = 26.7035375555132$$
$$x_{46} = 80.1107065596659$$
$$x_{47} = -64.4025511842224$$
$$x_{48} = -51.8362552464215$$
$$x_{49} = -23.5619449019235$$
$$x_{50} = -42.4115008234622$$
$$x_{51} = -45.5529627112364$$
$$x_{52} = 73.827477322712$$
$$x_{53} = 23.5620496503301$$
$$x_{54} = -1.57067615583836$$
$$x_{55} = -58.1194274499719$$
$$x_{56} = 32.9867228626928$$
$$x_{57} = 36.1283177986942$$
$$x_{58} = 67.5443499931316$$
$$x_{59} = 20.4203522483337$$
$$x_{60} = -1.5708395883501$$
$$x_{61} = -92.6769832808989$$
$$x_{62} = 29.8450277989543$$
$$x_{63} = 45.553093477052$$
$$x_{64} = -17.2787595947439$$
$$x_{65} = -80.1106126665397$$
$$x_{66} = 95.8185759344887$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -89.535441589746$$
$$x_{2} = -7.85396934854081$$
$$x_{3} = 76.9690200129499$$
$$x_{4} = 58.1194640914112$$
$$x_{5} = 14.1371669411541$$
$$x_{6} = -29.845130209103$$
$$x_{7} = 80.1106034946956$$
$$x_{8} = -36.1283155162826$$
$$x_{9} = -58.119532055033$$
$$x_{10} = -95.8185602777545$$
$$x_{11} = -4.71238898038469$$
$$x_{12} = 1.5707963267949$$
$$x_{13} = 73.827311651389$$
$$x_{14} = -83.2520989260588$$
$$x_{15} = 42.4114614973024$$
$$x_{16} = -67.5442420521806$$
$$x_{17} = -51.836262485438$$
$$x_{18} = -86.3937979737193$$
$$x_{19} = 86.3938908510206$$
$$x_{20} = 92.6768899714075$$
$$x_{21} = 4.71247207702943$$
$$x_{22} = 86.3937626449816$$
$$x_{23} = 48.6945895587878$$
$$x_{24} = 7.85398163397448$$
$$x_{25} = -7.8541073681749$$
$$x_{26} = 29.8451758719219$$
$$x_{27} = -61.261056745001$$
$$x_{28} = -73.8274273593601$$
$$x_{29} = 1393.29636850171$$
$$x_{30} = -45.5531406161696$$
$$x_{31} = -14.1372535946994$$
$$x_{32} = -95.8185821748531$$
$$x_{33} = 64.4026493985908$$
$$x_{34} = 89.5353906273091$$
$$x_{35} = -45.553042714615$$
$$x_{36} = -20.4202507419375$$
$$x_{37} = -39.2700111445703$$
$$x_{38} = 4.71228918668806$$
$$x_{39} = 42.4116084929189$$
$$x_{40} = 51.8362787842316$$
$$x_{41} = -48.6946861306418$$
$$x_{42} = -14.1371257126071$$
$$x_{43} = 70.6858347057703$$
$$x_{44} = -83.2523114345838$$
$$x_{45} = 26.7035375555132$$
$$x_{46} = 80.1107065596659$$
$$x_{47} = -64.4025511842224$$
$$x_{48} = -51.8362552464215$$
$$x_{49} = -23.5619449019235$$
$$x_{50} = -42.4115008234622$$
$$x_{51} = -45.5529627112364$$
$$x_{52} = 73.827477322712$$
$$x_{53} = 23.5620496503301$$
$$x_{54} = -1.57067615583836$$
$$x_{55} = -58.1194274499719$$
$$x_{56} = 32.9867228626928$$
$$x_{57} = 36.1283177986942$$
$$x_{58} = 67.5443499931316$$
$$x_{59} = 20.4203522483337$$
$$x_{60} = -1.5708395883501$$
$$x_{61} = -92.6769832808989$$
$$x_{62} = 29.8450277989543$$
$$x_{63} = 45.553093477052$$
$$x_{64} = -17.2787595947439$$
$$x_{65} = -80.1106126665397$$
$$x_{66} = 95.8185759344887$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, 0) 2
___ pi 3*\/ 3 (--, -------) 6 4
___ 5*pi -3*\/ 3 (----, --------) 6 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (2 \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{15}}{4} - \frac{i}{4} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{15}}{15} \right)}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x) + sin(2*x)/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}$$
- No
$$\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar