Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(-x^2+exp(2*x))-exp(x)

Gráfico de la función y = -sqrt(-x^2+exp(2*x))-exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            _____________     
           /    2    2*x     x
f(x) = - \/  - x  + e     - e
$$f{\left(x \right)} = - \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x}$$ 
f = -sqrt(-x^2 + exp(2*x)) - exp(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -sqrt(-x^2 + exp(2*x)) - exp(x).
$$- \sqrt{- 0^{2} + e^{0 \cdot 2}} - e^{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{- x + e^{2 x}}{\sqrt{- x^{2} + e^{2 x}}} - e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(x - e^{2 x}\right)^{2}}{\left(- x^{2} + e^{2 x}\right)^{\frac{3}{2}}} - e^{x} - \frac{2 e^{2 x} - 1}{\sqrt{- x^{2} + e^{2 x}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.167150446731079$$
$$x_{2} = -0.167150446731079$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.167150446731079\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-0.167150446731079, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(-x^2 + exp(2*x)) - exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x}}{x}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = i x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x} = - \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} - e^{- x}$$
- No
$$- \sqrt{- x^{2} + e^{2 x}} - e^{x} = \sqrt{- x^{2} + e^{- 2 x}} + e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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