Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)cos(x)

Gráfico de la función y = sin(x)cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x)*cos(x)
f(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} 
f = sin(x)*cos(x)
Gráfico de la función
0.03.50.51.01.52.02.53.01-1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=4.71238898038469x_{1} = 4.71238898038469
x2=−59.6902604182061x_{2} = -59.6902604182061
x3=7.85398163397448x_{3} = 7.85398163397448
x4=−21.9911485751286x_{4} = -21.9911485751286
x5=−75.398223686155x_{5} = -75.398223686155
x6=−39.2699081698724x_{6} = -39.2699081698724
x7=50.2654824574367x_{7} = 50.2654824574367
x8=95.8185759344887x_{8} = 95.8185759344887
x9=34.5575191894877x_{9} = 34.5575191894877
x10=−86.3937979737193x_{10} = -86.3937979737193
x11=−48.6946861306418x_{11} = -48.6946861306418
x12=−45.553093477052x_{12} = -45.553093477052
x13=26.7035375555132x_{13} = 26.7035375555132
x14=−20.4203522483337x_{14} = -20.4203522483337
x15=0x_{15} = 0
x16=−64.4026493985908x_{16} = -64.4026493985908
x17=43.9822971502571x_{17} = 43.9822971502571
x18=−43.9822971502571x_{18} = -43.9822971502571
x19=48.6946861306418x_{19} = 48.6946861306418
x20=−58.1194640914112x_{20} = -58.1194640914112
x21=23.5619449019235x_{21} = 23.5619449019235
x22=−80.1106126665397x_{22} = -80.1106126665397
x23=−65.9734457253857x_{23} = -65.9734457253857
x24=−83.2522053201295x_{24} = -83.2522053201295
x25=86.3937979737193x_{25} = 86.3937979737193
x26=45.553093477052x_{26} = 45.553093477052
x27=56.5486677646163x_{27} = 56.5486677646163
x28=51.8362787842316x_{28} = 51.8362787842316
x29=−87.9645943005142x_{29} = -87.9645943005142
x30=−14.1371669411541x_{30} = -14.1371669411541
x31=20.4203522483337x_{31} = 20.4203522483337
x32=87.9645943005142x_{32} = 87.9645943005142
x33=59.6902604182061x_{33} = 59.6902604182061
x34=−73.8274273593601x_{34} = -73.8274273593601
x35=31.4159265358979x_{35} = 31.4159265358979
x36=−81.6814089933346x_{36} = -81.6814089933346
x37=72.2566310325652x_{37} = 72.2566310325652
x38=−9.42477796076938x_{38} = -9.42477796076938
x39=−29.845130209103x_{39} = -29.845130209103
x40=−72.2566310325652x_{40} = -72.2566310325652
x41=81.6814089933346x_{41} = 81.6814089933346
x42=−31.4159265358979x_{42} = -31.4159265358979
x43=−483.805268652828x_{43} = -483.805268652828
x44=−89.5353906273091x_{44} = -89.5353906273091
x45=64.4026493985908x_{45} = 64.4026493985908
x46=−94.2477796076938x_{46} = -94.2477796076938
x47=−50.2654824574367x_{47} = -50.2654824574367
x48=28.2743338823081x_{48} = 28.2743338823081
x49=29.845130209103x_{49} = 29.845130209103
x50=−51.8362787842316x_{50} = -51.8362787842316
x51=92.6769832808989x_{51} = 92.6769832808989
x52=−67.5442420521806x_{52} = -67.5442420521806
x53=100.530964914873x_{53} = 100.530964914873
x54=−53.4070751110265x_{54} = -53.4070751110265
x55=94.2477796076938x_{55} = 94.2477796076938
x56=21.9911485751286x_{56} = 21.9911485751286
x57=−36.1283155162826x_{57} = -36.1283155162826
x58=−15.707963267949x_{58} = -15.707963267949
x59=−7.85398163397448x_{59} = -7.85398163397448
x60=65.9734457253857x_{60} = 65.9734457253857
x61=14.1371669411541x_{61} = 14.1371669411541
x62=−6.28318530717959x_{62} = -6.28318530717959
x63=113.097335529233x_{63} = 113.097335529233
x64=89.5353906273091x_{64} = 89.5353906273091
x65=80.1106126665397x_{65} = 80.1106126665397
x66=78.5398163397448x_{66} = 78.5398163397448
x67=15.707963267949x_{67} = 15.707963267949
x68=37.6991118430775x_{68} = 37.6991118430775
x69=42.4115008234622x_{69} = 42.4115008234622
x70=−97.3893722612836x_{70} = -97.3893722612836
x71=70.6858347057703x_{71} = 70.6858347057703
x72=36.1283155162826x_{72} = 36.1283155162826
x73=−1.5707963267949x_{73} = -1.5707963267949
x74=−95.8185759344887x_{74} = -95.8185759344887
x75=6.28318530717959x_{75} = 6.28318530717959
x76=−23.5619449019235x_{76} = -23.5619449019235
x77=−28.2743338823081x_{77} = -28.2743338823081
x78=−40.8407044966673x_{78} = -40.8407044966673
x79=67.5442420521806x_{79} = 67.5442420521806
x80=12.5663706143592x_{80} = 12.5663706143592
x81=−17.2787595947439x_{81} = -17.2787595947439
x82=−119.380520836412x_{82} = -119.380520836412
x83=−37.6991118430775x_{83} = -37.6991118430775
x84=73.8274273593601x_{84} = 73.8274273593601
x85=58.1194640914112x_{85} = 58.1194640914112
x86=−61.261056745001x_{86} = -61.261056745001
x87=1.5707963267949x_{87} = 1.5707963267949
x88=590.619418874881x_{88} = 590.619418874881
x89=−42.4115008234622x_{89} = -42.4115008234622
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*cos(x).
sin⁡(0)cos⁡(0)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=0- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi        
(----, -1/2)
  4         

 pi      
(--, 1/2)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4sin⁡(x)cos⁡(x)=0- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)cos⁡(x)=−sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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