Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -6*sin(5*x)/169-5*cos(5*x)/338

Gráfico de la función y = -6*sin(5*x)/169-5*cos(5*x)/338

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -6*sin(5*x)   5*cos(5*x)
f(x) = ----------- - ----------
           169          338
f(x)=(−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338} 
f = (-6*sin(5*x))/169 - 5*cos(5*x)/338
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.10-0.10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338=0\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−atan⁡(512)5x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{5}
Solución numérica
x1=33.2219239041119x_{1} = 33.2219239041119
x2=−7.61878059255546x_{2} = -7.61878059255546
x3=30.0803312505221x_{3} = 30.0803312505221
x4=80.3458137079588x_{4} = 80.3458137079588
x5=26.3104200662143x_{5} = 26.3104200662143
x6=91.0272287301641x_{6} = 91.0272287301641
x7=8.71750120611147x_{7} = 8.71750120611147
x8=−44.0612553741971x_{8} = -44.0612553741971
x9=−0.0789582239399523x_{9} = -0.0789582239399523
x10=84.1157248922665x_{10} = 84.1157248922665
x11=28.1953756583682x_{11} = 28.1953756583682
x12=−69.8223151336334x_{12} = -69.8223151336334
x13=36.3635165577017x_{13} = 36.3635165577017
x14=−35.8931144748636x_{14} = -35.8931144748636
x15=20.0272347590347x_{15} = 20.0272347590347
x16=−39.0347071284534x_{16} = -39.0347071284534
x17=96.0537769759077x_{17} = 96.0537769759077
x18=−55.9993074578383x_{18} = -55.9993074578383
x19=82.2307693001126x_{19} = 82.2307693001126
x20=70.2927172164714x_{20} = 70.2927172164714
x21=40.1334277420094x_{21} = 40.1334277420094
x22=76.575902523651x_{22} = 76.575902523651
x23=53.9564354178045x_{23} = 53.9564354178045
x24=43.9033389263172x_{24} = 43.9033389263172
x25=−83.6453228094284x_{25} = -83.6453228094284
x26=92.2838657916x_{26} = 92.2838657916
x27=−29.609929167684x_{27} = -29.609929167684
x28=47.6732501106249x_{28} = 47.6732501106249
x29=−88.0435525244542x_{29} = -88.0435525244542
x30=87.8856360765743x_{30} = 87.8856360765743
x31=−10.1320547154273x_{31} = -10.1320547154273
x32=38.2484721498555x_{32} = 38.2484721498555
x33=94.1688213837539x_{33} = 94.1688213837539
x34=−94.3267378316337x_{34} = -94.3267378316337
x35=−2454.29113920829x_{35} = -2454.29113920829
x36=−3.8488694082477x_{36} = -3.8488694082477
x37=−76.1055004408129x_{37} = -76.1055004408129
x38=−45.9462109663509x_{38} = -45.9462109663509
x39=−98.0966490159415x_{39} = -98.0966490159415
x40=75.947583992933x_{40} = 75.947583992933
x41=−39.6630256591713x_{41} = -39.6630256591713
x42=8.08918267539351x_{42} = 8.08918267539351
x43=4.31927149108576x_{43} = 4.31927149108576
x44=−71.7072707257872x_{44} = -71.7072707257872
x45=91.655547260882x_{45} = 91.655547260882
x46=−27.7249735755301x_{46} = -27.7249735755301
x47=−80.5037301558387x_{47} = -80.5037301558387
x48=−57.8842630499921x_{48} = -57.8842630499921
x49=−12.0170103075812x_{49} = -12.0170103075812
x50=11.8590938597013x_{50} = 11.8590938597013
x51=62.124576317138x_{51} = 62.124576317138
x52=−79.8754116251207x_{52} = -79.8754116251207
x53=−5.73382500040158x_{53} = -5.73382500040158
x54=−66.0524039493256x_{54} = -66.0524039493256
x55=−34.0081588827097x_{55} = -34.0081588827097
x56=64.0095319092918x_{56} = 64.0095319092918
x57=65.8944875014457x_{57} = 65.8944875014457
x58=−81.7603672172746x_{58} = -81.7603672172746
x59=−22.0701067990685x_{59} = -22.0701067990685
x60=50.1865242334967x_{60} = 50.1865242334967
x61=−1.96391381609383x_{61} = -1.96391381609383
x62=48.3015686413429x_{62} = 48.3015686413429
x63=−50.9727592120946x_{63} = -50.9727592120946
x64=−37.7780700670175x_{64} = -37.7780700670175
x65=52.0714798256506x_{65} = 52.0714798256506
x66=−65.4240854186076x_{66} = -65.4240854186076
x67=58.3546651328302x_{67} = 58.3546651328302
x68=−23.9550623912224x_{68} = -23.9550623912224
x69=86.0006804844204x_{69} = 86.0006804844204
x70=−59.769218642146x_{70} = -59.769218642146
x71=−17.6718770840428x_{71} = -17.6718770840428
x72=−99.9816046080954x_{72} = -99.9816046080954
x73=−77.9904560329668x_{73} = -77.9904560329668
x74=−15.7869214918889x_{74} = -15.7869214918889
x75=6.20422708323963x_{75} = 6.20422708323963
x76=−47.8311665585048x_{76} = -47.8311665585048
x77=97.9387325680616x_{77} = 97.9387325680616
x78=−32.1232032905558x_{78} = -32.1232032905558
x79=74.0626284007792x_{79} = 74.0626284007792
x80=9.97413826754739x_{80} = 9.97413826754739
x81=−91.8134637087619x_{81} = -91.8134637087619
x82=42.0183833341633x_{82} = 42.0183833341633
x83=−54.1143518656844x_{83} = -54.1143518656844
x84=−93.6984193009158x_{84} = -93.6984193009158
x85=−25.8400179833763x_{85} = -25.8400179833763
x86=21.9121903511886x_{86} = 21.9121903511886
x87=−89.928508116608x_{87} = -89.928508116608
x88=16.257323574727x_{88} = 16.257323574727
x89=14.3723679825731x_{89} = 14.3723679825731
x90=31.9652868426759x_{90} = 31.9652868426759
x91=−67.9373595414795x_{91} = -67.9373595414795
x92=60.2396207249841x_{92} = 60.2396207249841
x93=18.1422791668808x_{93} = 18.1422791668808
x94=−13.901965899735x_{94} = -13.901965899735
x95=−61.6541742342999x_{95} = -61.6541742342999
x96=72.1776728086253x_{96} = 72.1776728086253
x97=−49.7161221506587x_{97} = -49.7161221506587
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-6*sin(5*x))/169 - 5*cos(5*x)/338.
−5cos⁡(0⋅5)338+(−1)6sin⁡(0⋅5)169- \frac{5 \cos{\left(0 \cdot 5 \right)}}{338} + \frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(0 \cdot 5 \right)}}{169}
Resultado:
f(0)=−5338f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{338}
Punto:
(0, -5/338)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
25sin⁡(5x)338−30cos⁡(5x)169=0\frac{25 \sin{\left(5 x \right)}}{338} - \frac{30 \cos{\left(5 x \right)}}{169} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=atan⁡(125)5x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{5}
Signos de extremos en los puntos:
 atan(12/5)        
(----------, -1/26)
     5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=atan⁡(125)5x_{1} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[atan⁡(125)5,∞)\left[\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,atan⁡(125)5]\left(-\infty, \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
25(12sin⁡(5x)+5cos⁡(5x))338=0\frac{25 \left(12 \sin{\left(5 x \right)} + 5 \cos{\left(5 x \right)}\right)}{338} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−atan⁡(512)5x_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−atan⁡(512)5,∞)\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−atan⁡(512)5]\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338)=⟨−17338,17338⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}\right) = \left\langle - \frac{17}{338}, \frac{17}{338}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−17338,17338⟩y = \left\langle - \frac{17}{338}, \frac{17}{338}\right\rangle
lim⁡x→∞((−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338)=⟨−17338,17338⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}\right) = \left\langle - \frac{17}{338}, \frac{17}{338}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−17338,17338⟩y = \left\langle - \frac{17}{338}, \frac{17}{338}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-6*sin(5*x))/169 - 5*cos(5*x)/338, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338=6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338} = \frac{6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}
- No
(−1)6sin⁡(5x)169−5cos⁡(5x)338=−6sin⁡(5x)169+5cos⁡(5x)338\frac{\left(-1\right) 6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} - \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338} = - \frac{6 \sin{\left(5 x \right)}}{169} + \frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{338}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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