Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (1-cos(x))*cot(x)

Gráfico de la función y = (1-cos(x))*cot(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = (1 - cos(x))*cot(x)
f(x)=(1−cos⁡(x))cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} 
f = (1 - cos(x))*cot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1−cos⁡(x))cot⁡(x)=0\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=73.8274273593601x_{1} = 73.8274273593601
x2=62.8318530717959x_{2} = 62.8318530717959
x3=−4.71238898038469x_{3} = -4.71238898038469
x4=14.1371669411541x_{4} = 14.1371669411541
x5=58.1194640914112x_{5} = 58.1194640914112
x6=10.9955742875643x_{6} = 10.9955742875643
x7=92.6769832808989x_{7} = 92.6769832808989
x8=−43.9822971502571x_{8} = -43.9822971502571
x9=36.1283155162826x_{9} = 36.1283155162826
x10=−7.85398163397448x_{10} = -7.85398163397448
x11=−58.1194640914112x_{11} = -58.1194640914112
x12=−48.6946861306418x_{12} = -48.6946861306418
x13=86.3937979737193x_{13} = 86.3937979737193
x14=51.8362787842316x_{14} = 51.8362787842316
x15=−42.4115008234622x_{15} = -42.4115008234622
x16=−12.5663706143592x_{16} = -12.5663706143592
x17=−89.5353906273091x_{17} = -89.5353906273091
x18=1.5707963267949x_{18} = 1.5707963267949
x19=56.5486677646163x_{19} = 56.5486677646163
x20=100.530964914873x_{20} = 100.530964914873
x21=61.261056745001x_{21} = 61.261056745001
x22=−37.6991118430775x_{22} = -37.6991118430775
x23=25.1327412287183x_{23} = 25.1327412287183
x24=−70.6858347057703x_{24} = -70.6858347057703
x25=83.2522053201295x_{25} = 83.2522053201295
x26=50.2654824574367x_{26} = 50.2654824574367
x27=−36.1283155162826x_{27} = -36.1283155162826
x28=12.5663706143592x_{28} = 12.5663706143592
x29=−92.6769832808989x_{29} = -92.6769832808989
x30=−25.1327412287183x_{30} = -25.1327412287183
x31=−6.28318530717959x_{31} = -6.28318530717959
x32=98.9601685880785x_{32} = 98.9601685880785
x33=81.6814089933346x_{33} = 81.6814089933346
x34=−14.1371669411541x_{34} = -14.1371669411541
x35=80.1106126665397x_{35} = 80.1106126665397
x36=95.8185759344887x_{36} = 95.8185759344887
x37=−64.4026493985908x_{37} = -64.4026493985908
x38=45.553093477052x_{38} = 45.553093477052
x39=−17.2787595947439x_{39} = -17.2787595947439
x40=4.71238898038469x_{40} = 4.71238898038469
x41=6.28318530717959x_{41} = 6.28318530717959
x42=20.4203522483337x_{42} = 20.4203522483337
x43=−23.5619449019235x_{43} = -23.5619449019235
x44=−51.8362787842316x_{44} = -51.8362787842316
x45=−29.845130209103x_{45} = -29.845130209103
x46=7.85398163397448x_{46} = 7.85398163397448
x47=−26.7035375555132x_{47} = -26.7035375555132
x48=−56.5486677646163x_{48} = -56.5486677646163
x49=−95.8185759344887x_{49} = -95.8185759344887
x50=37.6991118430775x_{50} = 37.6991118430775
x51=−39.2699081698724x_{51} = -39.2699081698724
x52=69.1150383789755x_{52} = 69.1150383789755
x53=−50.2654824574367x_{53} = -50.2654824574367
x54=−94.2477796076938x_{54} = -94.2477796076938
x55=23.5619449019235x_{55} = 23.5619449019235
x56=−10.9955742875643x_{56} = -10.9955742875643
x57=−86.3937979737193x_{57} = -86.3937979737193
x58=−32.9867228626928x_{58} = -32.9867228626928
x59=−61.261056745001x_{59} = -61.261056745001
x60=−67.5442420521806x_{60} = -67.5442420521806
x61=76.9690200129499x_{61} = 76.9690200129499
x62=−45.553093477052x_{62} = -45.553093477052
x63=17.2787595947439x_{63} = 17.2787595947439
x64=−83.2522053201295x_{64} = -83.2522053201295
x65=−87.9645943005142x_{65} = -87.9645943005142
x66=42.4115008234622x_{66} = 42.4115008234622
x67=67.5442420521806x_{67} = 67.5442420521806
x68=−76.9690200129499x_{68} = -76.9690200129499
x69=−54.9778714378214x_{69} = -54.9778714378214
x70=−73.8274273593601x_{70} = -73.8274273593601
x71=−1.5707963267949x_{71} = -1.5707963267949
x72=87.9645943005142x_{72} = 87.9645943005142
x73=43.9822971502571x_{73} = 43.9822971502571
x74=70.6858347057703x_{74} = 70.6858347057703
x75=54.9778714378214x_{75} = 54.9778714378214
x76=−75.398223686155x_{76} = -75.398223686155
x77=39.2699081698724x_{77} = 39.2699081698724
x78=−31.4159265358979x_{78} = -31.4159265358979
x79=31.4159265358979x_{79} = 31.4159265358979
x80=26.7035375555132x_{80} = 26.7035375555132
x81=94.2477796076938x_{81} = 94.2477796076938
x82=−98.9601685880785x_{82} = -98.9601685880785
x83=−100.530964914873x_{83} = -100.530964914873
x84=48.6946861306418x_{84} = 48.6946861306418
x85=−81.6814089933346x_{85} = -81.6814089933346
x86=−20.4203522483337x_{86} = -20.4203522483337
x87=−80.1106126665397x_{87} = -80.1106126665397
x88=32.9867228626928x_{88} = 32.9867228626928
x89=64.4026493985908x_{89} = 64.4026493985908
x90=29.845130209103x_{90} = 29.845130209103
x91=89.5353906273091x_{91} = 89.5353906273091
x92=18.8495559215388x_{92} = 18.8495559215388
x93=50.2654824574367x_{93} = 50.2654824574367
x94=75.398223686155x_{94} = 75.398223686155
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 - cos(x))*cot(x).
(1−cos⁡(0))cot⁡(0)\left(1 - \cos{\left(0 \right)}\right) \cot{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(1−cos⁡(x))(−cot⁡2(x)−1)+sin⁡(x)cot⁡(x)=0\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) + \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(cos⁡(x)−1)(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−2(cot⁡2(x)+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)cot⁡(x)=0- 2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((1−cos⁡(x))cot⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((1−cos⁡(x))cot⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x))*cot(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((1−cos⁡(x))cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((1−cos⁡(x))cot⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1−cos⁡(x))cot⁡(x)=−(1−cos⁡(x))cot⁡(x)\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} = - \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}
- No
(1−cos⁡(x))cot⁡(x)=(1−cos⁡(x))cot⁡(x)\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)} = \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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