Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3*x)-2*sin(x)

Gráfico de la función y = sqrt(3*x)-2*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____           
f(x) = \/ 3*x  - 2*sin(x)
f(x)=3x−2sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)} 
f = sqrt(3*x) - 2*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3x−2sin⁡(x)=0\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3*x) - 2*sin(x).
0⋅3−2sin⁡(0)\sqrt{0 \cdot 3} - 2 \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2cos⁡(x)+3x2x=0- 2 \cos{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=73.8778270018129x_{1} = 73.8778270018129
x2=83.2047166606775x_{2} = 83.2047166606775
x3=26742.804815807x_{3} = 26742.804815807
x4=80.1589957962038x_{4} = 80.1589957962038
x5=55.0362728075284x_{5} = 55.0362728075284
x6=11.1257599767376x_{6} = 11.1257599767376
x7=76.919627781527x_{7} = 76.919627781527
x8=92.721967045346x_{8} = 92.721967045346
x9=99.0037009367812x_{9} = 99.0037009367812
x10=64.3486433910269x_{10} = 64.3486433910269
x11=45.4888473467572x_{11} = 45.4888473467572
x12=67.5969332556323x_{12} = 67.5969332556323
x13=58.0626067706595x_{13} = 58.0626067706595
x14=70.634289868591x_{14} = 70.634289868591
x15=23.6511008783648x_{15} = 23.6511008783648
x16=14.021267935479x_{16} = 14.021267935479
x17=29.9243698881693x_{17} = 29.9243698881693
x18=20.3241546070148x_{18} = 20.3241546070148
x19=86.440388692651x_{19} = 86.440388692651
x20=89.4896011038971x_{20} = 89.4896011038971
x21=32.9111715172194x_{21} = 32.9111715172194
x22=39.2006931125911x_{22} = 39.2006931125911
x23=95.7743152714983x_{23} = 95.7743152714983
x24=26.6195119300102x_{24} = 26.6195119300102
x25=51.7760646302219x_{25} = 51.7760646302219
x26=42.4779881215567x_{26} = 42.4779881215567
x27=7.6972662870743x_{27} = 7.6972662870743
x28=36.2003465904228x_{28} = 36.2003465904228
x29=48.7567390272713x_{29} = 48.7567390272713
x30=1.15635940703021x_{30} = 1.15635940703021
x31=4.90908897356832x_{31} = 4.90908897356832
x32=17.3828053968969x_{32} = 17.3828053968969
x33=61.3163833419405x_{33} = 61.3163833419405
Signos de extremos en los puntos:
(73.87782700181286, 16.8848201865029)

(83.20471666067748, 13.8014366892702)

(26742.804815806976, 281.246215189608)

(80.1589957962038, 17.5049799745414)

(55.03627280752837, 14.846057881198)

(11.125759976737585, 7.76038293516168)

(76.919627781527, 13.1931890235953)

(92.72196704534602, 18.6762831051195)

(99.00370093678119, 19.2321152956737)

(64.34864339102685, 11.8970128942319)

(45.48884734675725, 9.68601563502257)

(67.59693325563232, 16.2376877467877)

(58.062606770659485, 11.2012552327926)

(70.63428986859104, 12.5595402070402)

(23.651100878364762, 10.4154348143333)

(14.021267935478964, 4.49907895091167)

(29.924369888169288, 11.4685916216721)

(20.32415460701475, 5.81773350574337)

(86.44038869265103, 18.1012816901402)

(89.4896011038971, 14.3871139617264)

(32.91117151721943, 7.94217924083766)

(39.2006931125911, 8.84923805274186)

(95.7743152714983, 14.9525617971421)

(26.619511930010205, 6.94341647390951)

(51.77606463022187, 10.4666978610938)

(42.47798812155672, 13.2842463722374)

(7.6972662870743, 2.82990216161458)

(36.200346590422754, 12.4159960309315)

(48.756739027271266, 14.090373140452)

(1.1563594070302132, 0.0318597587827292)

(4.909088973568322, 5.79904583850194)

(17.382805396896913, 9.21057026328889)

(61.3163833419405, 15.5597252302363)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=83.2047166606775x_{1} = 83.2047166606775
x2=26742.804815807x_{2} = 26742.804815807
x3=76.919627781527x_{3} = 76.919627781527
x4=64.3486433910269x_{4} = 64.3486433910269
x5=45.4888473467572x_{5} = 45.4888473467572
x6=58.0626067706595x_{6} = 58.0626067706595
x7=70.634289868591x_{7} = 70.634289868591
x8=14.021267935479x_{8} = 14.021267935479
x9=20.3241546070148x_{9} = 20.3241546070148
x10=89.4896011038971x_{10} = 89.4896011038971
x11=32.9111715172194x_{11} = 32.9111715172194
x12=39.2006931125911x_{12} = 39.2006931125911
x13=95.7743152714983x_{13} = 95.7743152714983
x14=26.6195119300102x_{14} = 26.6195119300102
x15=51.7760646302219x_{15} = 51.7760646302219
x16=7.6972662870743x_{16} = 7.6972662870743
x17=1.15635940703021x_{17} = 1.15635940703021
Puntos máximos de la función:
x17=73.8778270018129x_{17} = 73.8778270018129
x17=80.1589957962038x_{17} = 80.1589957962038
x17=55.0362728075284x_{17} = 55.0362728075284
x17=11.1257599767376x_{17} = 11.1257599767376
x17=92.721967045346x_{17} = 92.721967045346
x17=99.0037009367812x_{17} = 99.0037009367812
x17=67.5969332556323x_{17} = 67.5969332556323
x17=23.6511008783648x_{17} = 23.6511008783648
x17=29.9243698881693x_{17} = 29.9243698881693
x17=86.440388692651x_{17} = 86.440388692651
x17=42.4779881215567x_{17} = 42.4779881215567
x17=36.2003465904228x_{17} = 36.2003465904228
x17=48.7567390272713x_{17} = 48.7567390272713
x17=4.90908897356832x_{17} = 4.90908897356832
x17=17.3828053968969x_{17} = 17.3828053968969
x17=61.3163833419405x_{17} = 61.3163833419405
Decrece en los intervalos
[26742.804815807,∞)\left[26742.804815807, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1.15635940703021]\left(-\infty, 1.15635940703021\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2sin⁡(x)−34x32=02 \sin{\left(x \right)} - \frac{\sqrt{3}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=75.3985543800059x_{1} = 75.3985543800059
x2=28.2728937068701x_{2} = 28.2728937068701
x3=37.7000471580003x_{3} = 37.7000471580003
x4=9.41728616289615x_{4} = 9.41728616289615
x5=100.531179707553x_{5} = 100.531179707553
x6=50.2660899738429x_{6} = 50.2660899738429
x7=6.29688766524191x_{7} = 6.29688766524191
x8=91.1059379820403x_{8} = 91.1059379820403
x9=34.5564533863916x_{9} = 34.5564533863916
x10=18.8522009360359x_{10} = 18.8522009360359
x11=97.3891469905356x_{11} = 97.3891469905356
x12=3.10195284072907x_{12} = 3.10195284072907
x13=53.4065203841117x_{13} = 53.4065203841117
x14=78.539505283872x_{14} = 78.539505283872
x15=62.8322877785065x_{15} = 62.8322877785065
x16=94.248016233615x_{16} = 94.248016233615
x17=65.9730416886156x_{17} = 65.9730416886156
x18=72.2562785340725x_{18} = 72.2562785340725
x19=25.1344594002975x_{19} = 25.1344594002975
x20=81.6817022740295x_{20} = 81.6817022740295
x21=31.4171560130056x_{21} = 31.4171560130056
x22=43.9830393876405x_{22} = 43.9830393876405
x23=12.5712280358694x_{23} = 12.5712280358694
x24=56.5491768975929x_{24} = 56.5491768975929
x25=59.6897909344509x_{25} = 59.6897909344509
x26=69.1154151766978x_{26} = 69.1154151766978
x27=40.8398749437693x_{27} = 40.8398749437693
x28=15.7044844156369x_{28} = 15.7044844156369
x29=47.1232205078498x_{29} = 47.1232205078498
x30=21.9890488555722x_{30} = 21.9890488555722
x31=84.822724504942x_{31} = 84.822724504942
x32=87.9648567265052x_{32} = 87.9648567265052

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[100.531179707553,∞)\left[100.531179707553, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,6.29688766524191]\left(-\infty, 6.29688766524191\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−2sin⁡(x))=⟨−2,2⟩+∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle + \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩+∞iy = \left\langle -2, 2\right\rangle + \infty i
lim⁡x→∞(3x−2sin⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3*x) - 2*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3x−2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3x−2sin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3x−2sin⁡(x)=3−x+2sin⁡(x)\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)} = \sqrt{3} \sqrt{- x} + 2 \sin{\left(x \right)}
- No
3x−2sin⁡(x)=−3−x−2sin⁡(x)\sqrt{3 x} - 2 \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{3} \sqrt{- x} - 2 \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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