Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2*e^((-1)/x)
-
x^2*e^(2-x)
-
x+27/x^3
-
(x^2-8)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- cero . cinco *cos(dos *x)+sin(x)
- 0.5 multiplicar por coseno de (2 multiplicar por x) más seno de (x)
- cero . cinco multiplicar por coseno de (dos multiplicar por x) más seno de (x)
- 0.5cos(2x)+sin(x)
- 0.5cos2x+sinx
-
Expresiones semejantes
- 0.5*cos(2*x)-sin(x)
- 0.5*cos(2*x)+sinx
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x-pi)-2
- cos(x)/(2*sqrt(x))-sin(x)*sqrt(x)
- cos(x)/18+cos(x*sqrt(19))+sin(x*sqrt(19))
- cos(((4-x))/(2))
- cos(2*x+(pi/2))
- Seno sin
- sin(x-pi/4)*(-2)
- sin(pi*x)/asin(x)
- sin(x)*e^((1/2)*cot(x)^(2))
- sin(697*t)+sin(1209*t)
- sin(x)/1+sin(x)
Gráfico de la función y = 0.5*cos(2*x)+sin(x)
Solución
Ha introducido
[src]
cos(2*x)
f(x) = -------- + sin(x)
2
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
f = sin(x) + cos(2*x)/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 28.6490683150169$$
$$x_{2} = -115.864193750114$$
$$x_{3} = -6.65791973988833$$
$$x_{4} = 12.1916361816504$$
$$x_{5} = -38.0738462757863$$
$$x_{6} = 18.47482148883$$
$$x_{7} = 78.9145507724536$$
$$x_{8} = 116.613662615531$$
$$x_{9} = -97.0146378285748$$
$$x_{10} = -21.6164141424198$$
$$x_{11} = -90.7314525213953$$
$$x_{12} = -2.76685822088105$$
$$x_{13} = 100.156230482165$$
$$x_{14} = -78.1650819070361$$
$$x_{15} = 66.3481801580944$$
$$x_{16} = -19.2242903542475$$
$$x_{17} = 91.4809213868127$$
$$x_{18} = -40.4659700639586$$
$$x_{19} = -65.5987112926769$$
$$x_{20} = 43.6075627175484$$
$$x_{21} = -50.6402168901454$$
$$x_{22} = -15.3332288352402$$
$$x_{23} = -63.2065875045046$$
$$x_{24} = 22.3658830078373$$
$$x_{25} = 47.4986242365556$$
$$x_{26} = 97.7641066939923$$
$$x_{27} = -31.7906609686067$$
$$x_{28} = -25.5074756614271$$
$$x_{29} = 24.7580067960096$$
$$x_{30} = -44.3570315829658$$
$$x_{31} = -27.8995994495994$$
$$x_{32} = 75.0234892534463$$
$$x_{33} = 62.4571186390871$$
$$x_{34} = -0.37473443270874$$
$$x_{35} = 72.631365465274$$
$$x_{36} = -84.4482672142157$$
$$x_{37} = 41.215438929376$$
$$x_{38} = -69.4897728116842$$
$$x_{39} = -71.8818965998565$$
$$x_{40} = -88.339328733223$$
$$x_{41} = 16.0826977006577$$
$$x_{42} = 3.51632708629853$$
$$x_{43} = 56.1739333319075$$
$$x_{44} = 31.0411921031892$$
$$x_{45} = 5.90845087447085$$
$$x_{46} = 85.1977360796332$$
$$x_{47} = -34.182784756779$$
$$x_{48} = -59.3155259854973$$
$$x_{49} = -103.297823135754$$
$$x_{50} = 68.7403039462667$$
$$x_{51} = -56.923402197325$$
$$x_{52} = 49.890748024728$$
$$x_{53} = -46.7491553711382$$
$$x_{54} = -12.9411050470679$$
$$x_{55} = 93.8730451749851$$
$$x_{56} = -1372.50125518603$$
$$x_{57} = 9.79951239347812$$
$$x_{58} = -75.7729581188638$$
$$x_{59} = -82.0561434260434$$
$$x_{60} = -53.0323406783177$$
$$x_{61} = 60.0649948509148$$
$$x_{62} = 87.5898598678055$$
$$x_{63} = -94.6225140404025$$
$$x_{64} = 37.3243774103688$$
$$x_{65} = 53.7818095437352$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 28.6490683150169$$
$$x_{2} = -115.864193750114$$
$$x_{3} = -6.65791973988833$$
$$x_{4} = 12.1916361816504$$
$$x_{5} = -38.0738462757863$$
$$x_{6} = 18.47482148883$$
$$x_{7} = 78.9145507724536$$
$$x_{8} = 116.613662615531$$
$$x_{9} = -97.0146378285748$$
$$x_{10} = -21.6164141424198$$
$$x_{11} = -90.7314525213953$$
$$x_{12} = -2.76685822088105$$
$$x_{13} = 100.156230482165$$
$$x_{14} = -78.1650819070361$$
$$x_{15} = 66.3481801580944$$
$$x_{16} = -19.2242903542475$$
$$x_{17} = 91.4809213868127$$
$$x_{18} = -40.4659700639586$$
$$x_{19} = -65.5987112926769$$
$$x_{20} = 43.6075627175484$$
$$x_{21} = -50.6402168901454$$
$$x_{22} = -15.3332288352402$$
$$x_{23} = -63.2065875045046$$
$$x_{24} = 22.3658830078373$$
$$x_{25} = 47.4986242365556$$
$$x_{26} = 97.7641066939923$$
$$x_{27} = -31.7906609686067$$
$$x_{28} = -25.5074756614271$$
$$x_{29} = 24.7580067960096$$
$$x_{30} = -44.3570315829658$$
$$x_{31} = -27.8995994495994$$
$$x_{32} = 75.0234892534463$$
$$x_{33} = 62.4571186390871$$
$$x_{34} = -0.37473443270874$$
$$x_{35} = 72.631365465274$$
$$x_{36} = -84.4482672142157$$
$$x_{37} = 41.215438929376$$
$$x_{38} = -69.4897728116842$$
$$x_{39} = -71.8818965998565$$
$$x_{40} = -88.339328733223$$
$$x_{41} = 16.0826977006577$$
$$x_{42} = 3.51632708629853$$
$$x_{43} = 56.1739333319075$$
$$x_{44} = 31.0411921031892$$
$$x_{45} = 5.90845087447085$$
$$x_{46} = 85.1977360796332$$
$$x_{47} = -34.182784756779$$
$$x_{48} = -59.3155259854973$$
$$x_{49} = -103.297823135754$$
$$x_{50} = 68.7403039462667$$
$$x_{51} = -56.923402197325$$
$$x_{52} = 49.890748024728$$
$$x_{53} = -46.7491553711382$$
$$x_{54} = -12.9411050470679$$
$$x_{55} = 93.8730451749851$$
$$x_{56} = -1372.50125518603$$
$$x_{57} = 9.79951239347812$$
$$x_{58} = -75.7729581188638$$
$$x_{59} = -82.0561434260434$$
$$x_{60} = -53.0323406783177$$
$$x_{61} = 60.0649948509148$$
$$x_{62} = 87.5898598678055$$
$$x_{63} = -94.6225140404025$$
$$x_{64} = 37.3243774103688$$
$$x_{65} = 53.7818095437352$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
-pi (----, -3/2) 2
pi (--, 3/4) 6
pi (--, 1/2) 2
5*pi (----, 3/4) 6
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
$$x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)/2 + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
$$\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar