Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 0.5*cos(2*x)+sin(x)

Gráfico de la función y = 0.5*cos(2*x)+sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       cos(2*x)         
f(x) = -------- + sin(x)
          2
f(x)=sin⁡(x)+cos⁡(2x)2f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} 
f = sin(x) + cos(2*x)/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)2=0\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=28.6490683150169x_{1} = 28.6490683150169
x2=−115.864193750114x_{2} = -115.864193750114
x3=−6.65791973988833x_{3} = -6.65791973988833
x4=12.1916361816504x_{4} = 12.1916361816504
x5=−38.0738462757863x_{5} = -38.0738462757863
x6=18.47482148883x_{6} = 18.47482148883
x7=78.9145507724536x_{7} = 78.9145507724536
x8=116.613662615531x_{8} = 116.613662615531
x9=−97.0146378285748x_{9} = -97.0146378285748
x10=−21.6164141424198x_{10} = -21.6164141424198
x11=−90.7314525213953x_{11} = -90.7314525213953
x12=−2.76685822088105x_{12} = -2.76685822088105
x13=100.156230482165x_{13} = 100.156230482165
x14=−78.1650819070361x_{14} = -78.1650819070361
x15=66.3481801580944x_{15} = 66.3481801580944
x16=−19.2242903542475x_{16} = -19.2242903542475
x17=91.4809213868127x_{17} = 91.4809213868127
x18=−40.4659700639586x_{18} = -40.4659700639586
x19=−65.5987112926769x_{19} = -65.5987112926769
x20=43.6075627175484x_{20} = 43.6075627175484
x21=−50.6402168901454x_{21} = -50.6402168901454
x22=−15.3332288352402x_{22} = -15.3332288352402
x23=−63.2065875045046x_{23} = -63.2065875045046
x24=22.3658830078373x_{24} = 22.3658830078373
x25=47.4986242365556x_{25} = 47.4986242365556
x26=97.7641066939923x_{26} = 97.7641066939923
x27=−31.7906609686067x_{27} = -31.7906609686067
x28=−25.5074756614271x_{28} = -25.5074756614271
x29=24.7580067960096x_{29} = 24.7580067960096
x30=−44.3570315829658x_{30} = -44.3570315829658
x31=−27.8995994495994x_{31} = -27.8995994495994
x32=75.0234892534463x_{32} = 75.0234892534463
x33=62.4571186390871x_{33} = 62.4571186390871
x34=−0.37473443270874x_{34} = -0.37473443270874
x35=72.631365465274x_{35} = 72.631365465274
x36=−84.4482672142157x_{36} = -84.4482672142157
x37=41.215438929376x_{37} = 41.215438929376
x38=−69.4897728116842x_{38} = -69.4897728116842
x39=−71.8818965998565x_{39} = -71.8818965998565
x40=−88.339328733223x_{40} = -88.339328733223
x41=16.0826977006577x_{41} = 16.0826977006577
x42=3.51632708629853x_{42} = 3.51632708629853
x43=56.1739333319075x_{43} = 56.1739333319075
x44=31.0411921031892x_{44} = 31.0411921031892
x45=5.90845087447085x_{45} = 5.90845087447085
x46=85.1977360796332x_{46} = 85.1977360796332
x47=−34.182784756779x_{47} = -34.182784756779
x48=−59.3155259854973x_{48} = -59.3155259854973
x49=−103.297823135754x_{49} = -103.297823135754
x50=68.7403039462667x_{50} = 68.7403039462667
x51=−56.923402197325x_{51} = -56.923402197325
x52=49.890748024728x_{52} = 49.890748024728
x53=−46.7491553711382x_{53} = -46.7491553711382
x54=−12.9411050470679x_{54} = -12.9411050470679
x55=93.8730451749851x_{55} = 93.8730451749851
x56=−1372.50125518603x_{56} = -1372.50125518603
x57=9.79951239347812x_{57} = 9.79951239347812
x58=−75.7729581188638x_{58} = -75.7729581188638
x59=−82.0561434260434x_{59} = -82.0561434260434
x60=−53.0323406783177x_{60} = -53.0323406783177
x61=60.0649948509148x_{61} = 60.0649948509148
x62=87.5898598678055x_{62} = 87.5898598678055
x63=−94.6225140404025x_{63} = -94.6225140404025
x64=37.3243774103688x_{64} = 37.3243774103688
x65=53.7818095437352x_{65} = 53.7818095437352
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(2*x)/2 + sin(x).
sin⁡(0)+cos⁡(0⋅2)2\sin{\left(0 \right)} + \frac{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(2x)+cos⁡(x)=0- \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=5π6x_{4} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi        
(----, -3/2)
  2         

 pi      
(--, 3/4)
 6       

 pi      
(--, 1/2)
 2       

 5*pi      
(----, 3/4)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π2,π6]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡(x)+2cos⁡(2x))=0- (\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−ilog⁡(−215−338+i(1+33)8)x_{1} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x2=−ilog⁡(215−338+i(1+33)8)x_{2} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{15 - \sqrt{33}}}{8} + \frac{i \left(1 + \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x3=−ilog⁡(−233+158+i(1−33)8)x_{3} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}
x4=−ilog⁡(233+158+i(1−33)8)x_{4} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{33} + 15}}{8} + \frac{i \left(1 - \sqrt{33}\right)}{8} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π−atan⁡(2(1−33)233+15),atan⁡(2(1−33)233+15)]∪[atan⁡(2(1+33)215−33),∞)\left[- \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right] \cup \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 + \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{15 - \sqrt{33}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π−atan⁡(2(1−33)233+15)]\left(-\infty, - \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(1 - \sqrt{33}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{33} + 15}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)2)=⟨−32,32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right) = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−32,32⟩y = \left\langle - \frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)/2 + sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)+cos⁡(2x)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)+cos⁡(2x)2=−sin⁡(x)+cos⁡(2x)2\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
- No
sin⁡(x)+cos⁡(2x)2=sin⁡(x)−cos⁡(2x)2\sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = \sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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