Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{x^{2} + 1} + \frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -70.8130570457361$$
$$x_{2} = -6.43085088987635$$
$$x_{3} = 75.2785619494359$$
$$x_{4} = -23.9412396826903$$
$$x_{5} = -42.6232395580237$$
$$x_{6} = 99.0510771819535$$
$$x_{7} = -89.63585948037$$
$$x_{8} = -61.4078130617512$$
$$x_{9} = -94.1521356214567$$
$$x_{10} = 52.0096453813026$$
$$x_{11} = 94.1521356214567$$
$$x_{12} = -8.22076669163097$$
$$x_{13} = -56.388809377123$$
$$x_{14} = -46.9316831723948$$
$$x_{15} = -65.8365853387199$$
$$x_{16} = 27.950228589841$$
$$x_{17} = 23.9412396826903$$
$$x_{18} = 80.2228874798627$$
$$x_{19} = 18.3514818786207$$
$$x_{20} = -75.2785619494359$$
$$x_{21} = 33.2585710813262$$
$$x_{22} = -27.950228589841$$
$$x_{23} = -99.0510771819535$$
$$x_{24} = 0$$
$$x_{25} = -80.2228874798627$$
$$x_{26} = -18.3514818786207$$
$$x_{27} = -150.736727474924$$
$$x_{28} = 42.6232395580237$$
$$x_{29} = 8.22076669163097$$
$$x_{30} = 65.8365853387199$$
$$x_{31} = 56.388809377123$$
$$x_{32} = -52.0096453813026$$
$$x_{33} = 84.7166910244793$$
$$x_{34} = 14.7619679085848$$
$$x_{35} = -33.2585710813262$$
$$x_{36} = -278.063318664902$$
$$x_{37} = 6.43085088987635$$
$$x_{38} = -14.7619679085848$$
$$x_{39} = -37.457976449678$$
$$x_{40} = -84.7166910244793$$
$$x_{41} = 89.63585948037$$
$$x_{42} = 37.457976449678$$
$$x_{43} = 46.9316831723948$$
$$x_{44} = 70.8130570457361$$
$$x_{45} = 61.4078130617512$$
Signos de extremos en los puntos:
(-70.81305704573606, 9.51848889900326)
(-6.430850889876349, 4.45233740324899)
(75.27856194943593, 8.64415738253468)
(-23.94123968269029, 7.33704813056943)
(-42.62323955802366, 8.50037634236811)
(99.05107718195352, 10.190455233879)
(-89.63585948037003, 9.99051423355457)
(-61.4078130617512, 9.23294816539768)
(-94.15213562145671, 9.09095275242567)
(52.00964538130263, 8.89989215886184)
(94.15213562145671, 9.09095275242567)
(-8.220766691630969, 4.38062266053026)
(-56.388809377123046, 8.06769261804512)
(-46.93168317239477, 7.70193910648502)
(-65.83658533871993, 8.37666181962594)
(27.95022858984101, 6.6737562387914)
(23.94123968269029, 7.33704813056943)
(80.22288747986269, 9.76837310714338)
(18.351481878620657, 5.84969744235365)
(-75.27856194943593, 8.64415738253468)
(33.25857108132624, 8.00133984165076)
(-27.95022858984101, 6.6737562387914)
(-99.05107718195352, 10.190455233879)
(0, 0)
(-80.22288747986269, 9.76837310714338)
(-18.351481878620657, 5.84969744235365)
(-150.73672747492415, 10.0315098086609)
(42.62323955802366, 8.50037634236811)
(8.220766691630969, 4.38062266053026)
(65.83658533871993, 8.37666181962594)
(56.388809377123046, 8.06769261804512)
(-52.00964538130263, 8.89989215886184)
(84.71669102447932, 8.88001985784857)
(14.76196790858475, 6.34593508810399)
(-33.25857108132624, 8.00133984165076)
(-278.0633186649018, 12.2555942276782)
(6.430850889876349, 4.45233740324899)
(-14.76196790858475, 6.34593508810399)
(-37.45797644967802, 7.25359860290258)
(-84.71669102447932, 8.88001985784857)
(89.63585948037003, 9.99051423355457)
(37.45797644967802, 7.25359860290258)
(46.93168317239477, 7.70193910648502)
(70.81305704573606, 9.51848889900326)
(61.4078130617512, 9.23294816539768)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 75.2785619494359$$
$$x_{2} = -94.1521356214567$$
$$x_{3} = 94.1521356214567$$
$$x_{4} = -8.22076669163097$$
$$x_{5} = -56.388809377123$$
$$x_{6} = -46.9316831723948$$
$$x_{7} = -65.8365853387199$$
$$x_{8} = 27.950228589841$$
$$x_{9} = 18.3514818786207$$
$$x_{10} = -75.2785619494359$$
$$x_{11} = -27.950228589841$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = -18.3514818786207$$
$$x_{14} = -150.736727474924$$
$$x_{15} = 8.22076669163097$$
$$x_{16} = 65.8365853387199$$
$$x_{17} = 56.388809377123$$
$$x_{18} = 84.7166910244793$$
$$x_{19} = -37.457976449678$$
$$x_{20} = -84.7166910244793$$
$$x_{21} = 37.457976449678$$
$$x_{22} = 46.9316831723948$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{22} = -70.8130570457361$$
$$x_{22} = -6.43085088987635$$
$$x_{22} = -23.9412396826903$$
$$x_{22} = -42.6232395580237$$
$$x_{22} = 99.0510771819535$$
$$x_{22} = -89.63585948037$$
$$x_{22} = -61.4078130617512$$
$$x_{22} = 52.0096453813026$$
$$x_{22} = 23.9412396826903$$
$$x_{22} = 80.2228874798627$$
$$x_{22} = 33.2585710813262$$
$$x_{22} = -99.0510771819535$$
$$x_{22} = -80.2228874798627$$
$$x_{22} = 42.6232395580237$$
$$x_{22} = -52.0096453813026$$
$$x_{22} = 14.7619679085848$$
$$x_{22} = -33.2585710813262$$
$$x_{22} = -278.063318664902$$
$$x_{22} = 6.43085088987635$$
$$x_{22} = -14.7619679085848$$
$$x_{22} = 89.63585948037$$
$$x_{22} = 70.8130570457361$$
$$x_{22} = 61.4078130617512$$
Decrece en los intervalos
$$\left[94.1521356214567, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -150.736727474924\right]$$