Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x)*sinh(x)

Gráfico de la función y = cos(x)*sinh(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(x)*sinh(x)
f(x)=cos⁡(x)sinh⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} 
f = cos(x)*sinh(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)sinh⁡(x)=0\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=3π2x_{3} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=7.85398163397448x_{1} = 7.85398163397448
x2=23.5619449019235x_{2} = 23.5619449019235
x3=−4.71238898038469x_{3} = -4.71238898038469
x4=−20.4203522483337x_{4} = -20.4203522483337
x5=0x_{5} = 0
x6=26.7035375555132x_{6} = 26.7035375555132
x7=−17.2787595947439x_{7} = -17.2787595947439
x8=20.4203522483337x_{8} = 20.4203522483337
x9=14.1371669411541x_{9} = 14.1371669411541
x10=−26.7035375555132x_{10} = -26.7035375555132
x11=4.71238898038469x_{11} = 4.71238898038469
x12=−7.85398163397448x_{12} = -7.85398163397448
x13=−23.5619449019235x_{13} = -23.5619449019235
x14=−1.5707963267949x_{14} = -1.5707963267949
x15=−10.9955742875643x_{15} = -10.9955742875643
x16=1.5707963267949x_{16} = 1.5707963267949
x17=29.845130209103x_{17} = 29.845130209103
x18=17.2787595947439x_{18} = 17.2787595947439
x19=10.9955742875643x_{19} = 10.9955742875643
x20=−29.845130209103x_{20} = -29.845130209103
x21=−14.1371669411541x_{21} = -14.1371669411541
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)*sinh(x).
cos⁡(0)sinh⁡(0)\cos{\left(0 \right)} \sinh{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)sinh⁡(x)+cos⁡(x)cosh⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13.3517687777591x_{1} = -13.3517687777591
x2=−7.06858419552324x_{2} = -7.06858419552324
x3=−22.776546738526x_{3} = -22.776546738526
x4=3.92737871911881x_{4} = 3.92737871911881
x5=−16.4933614313464x_{5} = -16.4933614313464
x6=−19.6349540849362x_{6} = -19.6349540849362
x7=0.937552034355981x_{7} = 0.937552034355981
x8=7.06858419552324x_{8} = 7.06858419552324
x9=−10.2101761255206x_{9} = -10.2101761255206
x10=19.6349540849362x_{10} = 19.6349540849362
x11=10.2101761255206x_{11} = 10.2101761255206
x12=16.4933614313464x_{12} = 16.4933614313464
x13=−29.0597320457056x_{13} = -29.0597320457056
x14=13.3517687777591x_{14} = 13.3517687777591
x15=22.776546738526x_{15} = 22.776546738526
x16=−0.937552034355981x_{16} = -0.937552034355981
x17=29.0597320457056x_{17} = 29.0597320457056
x18=25.9181393921158x_{18} = 25.9181393921158
x19=−25.9181393921158x_{19} = -25.9181393921158
x20=−3.92737871911881x_{20} = -3.92737871911881
Signos de extremos en los puntos:
(-13.35176877775915, -222358.896618345)

(-7.068584195523235, -415.242204292892)

(-22.776546738526, 2755393133.85846)

(3.9273787191188063, -17.9372923695445)

(-16.49336143134642, 5145538.88082205)

(-19.634954084936208, -119071333.671119)

(0.9375520343559806, 0.639736505055239)

(7.068584195523235, 415.242204292892)

(-10.210176125520626, 9608.99917070341)

(19.634954084936208, 119071333.671119)

(10.210176125520626, -9608.99917070341)

(16.49336143134642, -5145538.88082205)

(-29.059732045705587, 1475490030871.44)

(13.35176877775915, 222358.896618345)

(22.776546738526, -2755393133.85846)

(-0.9375520343559806, -0.639736505055239)

(29.059732045705587, -1475490030871.44)

(25.918139392115794, 63761705593.089)

(-25.918139392115794, -63761705593.089)

(-3.9273787191188063, 17.9372923695445)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13.3517687777591x_{1} = -13.3517687777591
x2=−7.06858419552324x_{2} = -7.06858419552324
x3=3.92737871911881x_{3} = 3.92737871911881
x4=−19.6349540849362x_{4} = -19.6349540849362
x5=10.2101761255206x_{5} = 10.2101761255206
x6=16.4933614313464x_{6} = 16.4933614313464
x7=22.776546738526x_{7} = 22.776546738526
x8=−0.937552034355981x_{8} = -0.937552034355981
x9=29.0597320457056x_{9} = 29.0597320457056
x10=−25.9181393921158x_{10} = -25.9181393921158
Puntos máximos de la función:
x10=−22.776546738526x_{10} = -22.776546738526
x10=−16.4933614313464x_{10} = -16.4933614313464
x10=0.937552034355981x_{10} = 0.937552034355981
x10=7.06858419552324x_{10} = 7.06858419552324
x10=−10.2101761255206x_{10} = -10.2101761255206
x10=19.6349540849362x_{10} = 19.6349540849362
x10=−29.0597320457056x_{10} = -29.0597320457056
x10=13.3517687777591x_{10} = 13.3517687777591
x10=25.9181393921158x_{10} = 25.9181393921158
x10=−3.92737871911881x_{10} = -3.92737871911881
Decrece en los intervalos
[29.0597320457056,∞)\left[29.0597320457056, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−25.9181393921158]\left(-\infty, -25.9181393921158\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2sin⁡(x)cosh⁡(x)=0- 2 \sin{\left(x \right)} \cosh{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)sinh⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)sinh⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)*sinh(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)sinh⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(cos⁡(x)sinh⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)sinh⁡(x)=−cos⁡(x)sinh⁡(x)\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}
- No
cos⁡(x)sinh⁡(x)=cos⁡(x)sinh⁡(x)\cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} \sinh{\left(x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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