Sr Examen

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2*sin(x)*cos(x)
Trazado el gráfico de la función/ 2*sin(x)*cos(x)

Gráfico de la función y = 2*sin(x)*cos(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*sin(x)*cos(x)
f(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)f{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} 
f = (2*sin(x))*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2sin⁡(x)cos⁡(x)=02 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Solución numérica
x1=31.4159265358979x_{1} = 31.4159265358979
x2=73.8274273593601x_{2} = 73.8274273593601
x3=70.6858347057703x_{3} = 70.6858347057703
x4=−89.5353906273091x_{4} = -89.5353906273091
x5=42.4115008234622x_{5} = 42.4115008234622
x6=−64.4026493985908x_{6} = -64.4026493985908
x7=14.1371669411541x_{7} = 14.1371669411541
x8=−1.5707963267949x_{8} = -1.5707963267949
x9=−48.6946861306418x_{9} = -48.6946861306418
x10=−53.4070751110265x_{10} = -53.4070751110265
x11=−67.5442420521806x_{11} = -67.5442420521806
x12=89.5353906273091x_{12} = 89.5353906273091
x13=−9.42477796076938x_{13} = -9.42477796076938
x14=−20.4203522483337x_{14} = -20.4203522483337
x15=28.2743338823081x_{15} = 28.2743338823081
x16=50.2654824574367x_{16} = 50.2654824574367
x17=−80.1106126665397x_{17} = -80.1106126665397
x18=36.1283155162826x_{18} = 36.1283155162826
x19=−97.3893722612836x_{19} = -97.3893722612836
x20=95.8185759344887x_{20} = 95.8185759344887
x21=45.553093477052x_{21} = 45.553093477052
x22=92.6769832808989x_{22} = 92.6769832808989
x23=34.5575191894877x_{23} = 34.5575191894877
x24=1.5707963267949x_{24} = 1.5707963267949
x25=−29.845130209103x_{25} = -29.845130209103
x26=65.9734457253857x_{26} = 65.9734457253857
x27=0x_{27} = 0
x28=23.5619449019235x_{28} = 23.5619449019235
x29=20.4203522483337x_{29} = 20.4203522483337
x30=78.5398163397448x_{30} = 78.5398163397448
x31=59.6902604182061x_{31} = 59.6902604182061
x32=100.530964914873x_{32} = 100.530964914873
x33=−72.2566310325652x_{33} = -72.2566310325652
x34=21.9911485751286x_{34} = 21.9911485751286
x35=7.85398163397448x_{35} = 7.85398163397448
x36=−17.2787595947439x_{36} = -17.2787595947439
x37=−119.380520836412x_{37} = -119.380520836412
x38=4.71238898038469x_{38} = 4.71238898038469
x39=−37.6991118430775x_{39} = -37.6991118430775
x40=−81.6814089933346x_{40} = -81.6814089933346
x41=−21.9911485751286x_{41} = -21.9911485751286
x42=26.7035375555132x_{42} = 26.7035375555132
x43=−58.1194640914112x_{43} = -58.1194640914112
x44=12.5663706143592x_{44} = 12.5663706143592
x45=−87.9645943005142x_{45} = -87.9645943005142
x46=−42.4115008234622x_{46} = -42.4115008234622
x47=−14.1371669411541x_{47} = -14.1371669411541
x48=−94.2477796076938x_{48} = -94.2477796076938
x49=−51.8362787842316x_{49} = -51.8362787842316
x50=15.707963267949x_{50} = 15.707963267949
x51=590.619418874881x_{51} = 590.619418874881
x52=−43.9822971502571x_{52} = -43.9822971502571
x53=−6.28318530717959x_{53} = -6.28318530717959
x54=58.1194640914112x_{54} = 58.1194640914112
x55=−28.2743338823081x_{55} = -28.2743338823081
x56=48.6946861306418x_{56} = 48.6946861306418
x57=−83.2522053201295x_{57} = -83.2522053201295
x58=−95.8185759344887x_{58} = -95.8185759344887
x59=81.6814089933346x_{59} = 81.6814089933346
x60=−75.398223686155x_{60} = -75.398223686155
x61=−36.1283155162826x_{61} = -36.1283155162826
x62=−40.8407044966673x_{62} = -40.8407044966673
x63=94.2477796076938x_{63} = 94.2477796076938
x64=86.3937979737193x_{64} = 86.3937979737193
x65=−59.6902604182061x_{65} = -59.6902604182061
x66=87.9645943005142x_{66} = 87.9645943005142
x67=113.097335529233x_{67} = 113.097335529233
x68=−15.707963267949x_{68} = -15.707963267949
x69=−23.5619449019235x_{69} = -23.5619449019235
x70=−61.261056745001x_{70} = -61.261056745001
x71=−7.85398163397448x_{71} = -7.85398163397448
x72=67.5442420521806x_{72} = 67.5442420521806
x73=80.1106126665397x_{73} = 80.1106126665397
x74=6.28318530717959x_{74} = 6.28318530717959
x75=29.845130209103x_{75} = 29.845130209103
x76=−50.2654824574367x_{76} = -50.2654824574367
x77=−73.8274273593601x_{77} = -73.8274273593601
x78=37.6991118430775x_{78} = 37.6991118430775
x79=−86.3937979737193x_{79} = -86.3937979737193
x80=−483.805268652828x_{80} = -483.805268652828
x81=51.8362787842316x_{81} = 51.8362787842316
x82=43.9822971502571x_{82} = 43.9822971502571
x83=56.5486677646163x_{83} = 56.5486677646163
x84=−45.553093477052x_{84} = -45.553093477052
x85=−65.9734457253857x_{85} = -65.9734457253857
x86=−39.2699081698724x_{86} = -39.2699081698724
x87=−31.4159265358979x_{87} = -31.4159265358979
x88=72.2566310325652x_{88} = 72.2566310325652
x89=64.4026493985908x_{89} = 64.4026493985908
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*sin(x))*cos(x).
2sin⁡(0)cos⁡(0)2 \sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡2(x)+2cos⁡2(x)=0- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      
(----, -1)
  4       

 pi    
(--, 1)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
[−π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]∪[π4,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−8sin⁡(x)cos⁡(x)=0- 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)cos⁡(x))=⟨−2,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -2, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,2⟩y = \left\langle -2, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*sin(x))*cos(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2sin⁡(x)cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2sin⁡(x)cos⁡(x)=−2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
2sin⁡(x)cos⁡(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*sin(x)*cos(x)
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