Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(cos^2(x))

Gráfico de la función y = sqrt(cos^2(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________
         /    2    
f(x) = \/  cos (x)
f(x)=cos⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} 
f = sqrt(cos(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡2(x)=0\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=48.6946861306418x_{1} = 48.6946861306418
x2=54.9778714378214x_{2} = 54.9778714378214
x3=−98.9601685880785x_{3} = -98.9601685880785
x4=67.5442420521806x_{4} = 67.5442420521806
x5=76.9690200129499x_{5} = 76.9690200129499
x6=14.1371669411541x_{6} = 14.1371669411541
x7=−29.845130209103x_{7} = -29.845130209103
x8=61.261056745001x_{8} = 61.261056745001
x9=−36.1283155162826x_{9} = -36.1283155162826
x10=−4.71238898038469x_{10} = -4.71238898038469
x11=−39.2699081698724x_{11} = -39.2699081698724
x12=1.5707963267949x_{12} = 1.5707963267949
x13=−14.1371669411541x_{13} = -14.1371669411541
x14=−64.4026493985908x_{14} = -64.4026493985908
x15=−67.5442420521806x_{15} = -67.5442420521806
x16=92.6769832808989x_{16} = 92.6769832808989
x17=−51.8362787842316x_{17} = -51.8362787842316
x18=−86.3937979737193x_{18} = -86.3937979737193
x19=42.4115008234622x_{19} = 42.4115008234622
x20=−17.2787595947439x_{20} = -17.2787595947439
x21=−45.553093477052x_{21} = -45.553093477052
x22=−89.5353906273091x_{22} = -89.5353906273091
x23=−1.5707963267949x_{23} = -1.5707963267949
x24=39.2699081698724x_{24} = 39.2699081698724
x25=23.5619449019235x_{25} = 23.5619449019235
x26=7.85398163397448x_{26} = 7.85398163397448
x27=−58.1194640914112x_{27} = -58.1194640914112
x28=−61.261056745001x_{28} = -61.261056745001
x29=−73.8274273593601x_{29} = -73.8274273593601
x30=73.8274273593601x_{30} = 73.8274273593601
x31=29.845130209103x_{31} = 29.845130209103
x32=4.71238898038469x_{32} = 4.71238898038469
x33=86.3937979737193x_{33} = 86.3937979737193
x34=64.4026493985908x_{34} = 64.4026493985908
x35=89.5353906273091x_{35} = 89.5353906273091
x36=−20.4203522483337x_{36} = -20.4203522483337
x37=−26.7035375555132x_{37} = -26.7035375555132
x38=98.9601685880785x_{38} = 98.9601685880785
x39=51.8362787842316x_{39} = 51.8362787842316
x40=83.2522053201295x_{40} = 83.2522053201295
x41=−48.6946861306418x_{41} = -48.6946861306418
x42=−54.9778714378214x_{42} = -54.9778714378214
x43=70.6858347057703x_{43} = 70.6858347057703
x44=−95.8185759344887x_{44} = -95.8185759344887
x45=26.7035375555132x_{45} = 26.7035375555132
x46=80.1106126665397x_{46} = 80.1106126665397
x47=−23.5619449019235x_{47} = -23.5619449019235
x48=−7.85398163397448x_{48} = -7.85398163397448
x49=−83.2522053201295x_{49} = -83.2522053201295
x50=−76.9690200129499x_{50} = -76.9690200129499
x51=−42.4115008234622x_{51} = -42.4115008234622
x52=−32.9867228626928x_{52} = -32.9867228626928
x53=17.2787595947439x_{53} = 17.2787595947439
x54=32.9867228626928x_{54} = 32.9867228626928
x55=20.4203522483337x_{55} = 20.4203522483337
x56=−70.6858347057703x_{56} = -70.6858347057703
x57=−10.9955742875643x_{57} = -10.9955742875643
x58=−92.6769832808989x_{58} = -92.6769832808989
x59=45.553093477052x_{59} = 45.553093477052
x60=10.9955742875643x_{60} = 10.9955742875643
x61=−80.1106126665397x_{61} = -80.1106126665397
x62=95.8185759344887x_{62} = 95.8185759344887
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(cos(x)^2).
cos⁡2(0)\sqrt{\cos^{2}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)∣cos⁡(x)∣cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)} \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(pi, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡2(x)sign⁡(cos⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡2(x)∣cos⁡(x)∣cos⁡2(x)−∣cos⁡(x)∣=0\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \left|{\cos{\left(x \right)}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡2(x)=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
lim⁡x→∞cos⁡2(x)=∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty} \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∣⟨−1,1⟩∣y = \left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(cos(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣cos⁡(x)∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡2(x)=cos⁡2(x)\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} = \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- Sí
cos⁡2(x)=−cos⁡2(x)\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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