Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\sin{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / 6 4 3 2 \\ 1 / / / 6 4 3 2 \\\
(2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 0//, ------------------------------------------------ - cos\2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 0///)
/ / / 6 4 3 2 \\\
sin\2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 0///
/ / 6 4 3 2 \\ 1 / / / 6 4 3 2 \\\
(2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 1//, ------------------------------------------------ - cos\2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 1///)
/ / / 6 4 3 2 \\\
sin\2*atan\CRootOf\x + x + 8*x - x - 1, 1///
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 0\right)} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{6} + x^{4} + 8 x^{3} - x^{2} - 1, 1\right)} \right)}\right]$$