Sr Examen

Otras calculadoras

1/(sin(x)-cos(x))^2
Trazado el gráfico de la función/ 1/(sin(x)-cos(x))^2

Gráfico de la función y = 1/(sin(x)-cos(x))^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               1         
f(x) = ------------------
                        2
       (sin(x) - cos(x))
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$$ 
f = 1/((sin(x) - cos(x))^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2.35619449019234$$
$$x_{2} = 0.785398163397448$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/((sin(x) - cos(x))^2).
$$\frac{1}{\left(- \cos{\left(0 \right)} + \sin{\left(0 \right)}\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       
(----, 1/2)
  4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 + \frac{3 \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2.35619449019234$$
$$x_{2} = 0.785398163397448$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/((sin(x) - cos(x))^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = \frac{1}{\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{1}{\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = - \frac{1}{\left(- \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/(sin(x)-cos(x))^2
    © Sr Examen – Калькулятор