Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ x/(exp(x)-1)

Gráfico de la función y = x/(exp(x)-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         x   
f(x) = ------
        x    
       e  - 1
f(x)=xex−1f{\left(x \right)} = \frac{x}{e^{x} - 1} 
f = x/(exp(x) - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xex−1=0\frac{x}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=79.496455118891x_{1} = 79.496455118891
x2=53.7006804984822x_{2} = 53.7006804984822
x3=101.418161552262x_{3} = 101.418161552262
x4=55.67586733869x_{4} = 55.67586733869
x5=47.7931569932434x_{5} = 47.7931569932434
x6=51.7281686335152x_{6} = 51.7281686335152
x7=43.876254509419x_{7} = 43.876254509419
x8=113.389949729147x_{8} = 113.389949729147
x9=91.4482816547886x_{9} = 91.4482816547886
x10=38.0568714825062x_{10} = 38.0568714825062
x11=115.385891060967x_{11} = 115.385891060967
x12=85.4703620749206x_{12} = 85.4703620749206
x13=69.5523925194344x_{13} = 69.5523925194344
x14=81.4872456640903x_{14} = 81.4872456640903
x15=109.398572537176x_{15} = 109.398572537176
x16=97.429350983852x_{16} = 97.429350983852
x17=34.2454006473895x_{17} = 34.2454006473895
x18=77.5062407712727x_{18} = 77.5062407712727
x19=73.5277731870455x_{19} = 73.5277731870455
x20=41.9272307470761x_{20} = 41.9272307470761
x21=99.4236264980399x_{21} = 99.4236264980399
x22=61.614029218278x_{22} = 61.614029218278
x23=93.4416565533312x_{23} = 93.4416565533312
x24=89.4552548670559x_{24} = 89.4552548670559
x25=87.4626045093137x_{25} = 87.4626045093137
x26=111.394173451874x_{26} = 111.394173451874
x27=63.5967547129854x_{27} = 63.5967547129854
x28=83.4785626915261x_{28} = 83.4785626915261
x29=67.5660769899711x_{29} = 67.5660769899711
x30=49.7587989604181x_{30} = 49.7587989604181
x31=59.6328238138969x_{31} = 59.6328238138969
x32=36.1413882660097x_{32} = 36.1413882660097
x33=117.381987933686x_{33} = 117.381987933686
x34=32.3772303055367x_{34} = 32.3772303055367
x35=65.580821222158x_{35} = 65.580821222158
x36=105.407942520376x_{36} = 105.407942520376
x37=39.9866376739683x_{37} = 39.9866376739683
x38=95.4353540260187x_{38} = 95.4353540260187
x39=103.412938828373x_{39} = 103.412938828373
x40=107.40315817241x_{40} = 107.40315817241
x41=75.5166588459953x_{41} = 75.5166588459953
x42=71.5396566043977x_{42} = 71.5396566043977
x43=121.374613775997x_{43} = 121.374613775997
x44=45.8319875395696x_{44} = 45.8319875395696
x45=57.6533514231885x_{45} = 57.6533514231885
x46=119.378231552779x_{46} = 119.378231552779
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(exp(x) - 1).
0−1+e0\frac{0}{-1 + e^{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−xex(ex−1)2+1ex−1=0- \frac{x e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{e^{x} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2=0- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=75.5277731870455x_{1} = 75.5277731870455
x2=45.8762545095884x_{2} = 45.8762545095884
x3=−85.1702113647074x_{3} = -85.1702113647074
x4=81.496455118891x_{4} = 81.496455118891
x5=−105.10407015753x_{5} = -105.10407015753
x6=91.4552548670559x_{6} = 91.4552548670559
x7=−109.094223645316x_{7} = -109.094223645316
x8=121.378231552779x_{8} = 121.378231552779
x9=77.5166588459953x_{9} = 77.5166588459953
x10=67.580821222158x_{10} = 67.580821222158
x11=69.5660769899711x_{11} = 69.5660769899711
x12=111.398572537176x_{12} = 111.398572537176
x13=43.9272307483245x_{13} = 43.9272307483245
x14=109.40315817241x_{14} = 109.40315817241
x15=−45.5740005053856x_{15} = -45.5740005053856
x16=−37.84637565678x_{16} = -37.84637565678
x17=89.4626045093137x_{17} = 89.4626045093137
x18=−97.1266472537626x_{18} = -97.1266472537626
x19=−35.9540446499353x_{19} = -35.9540446499353
x20=105.412938828373x_{20} = 105.412938828373
x21=53.7281686335153x_{21} = 53.7281686335153
x22=49.7931569932465x_{22} = 49.7931569932465
x23=87.4703620749206x_{23} = 87.4703620749206
x24=63.614029218278x_{24} = 63.614029218278
x25=41.9866376831621x_{25} = 41.9866376831621
x26=−49.4891864944474x_{26} = -49.4891864944474
x27=93.4482816547886x_{27} = 93.4482816547886
x28=85.4785626915261x_{28} = 85.4785626915261
x29=−93.1396752246407x_{29} = -93.1396752246407
x30=−79.1981473783759x_{30} = -79.1981473783759
x31=−55.3950840173981x_{31} = -55.3950840173981
x32=−117.076847342498x_{32} = -117.076847342498
x33=−103.109329237227x_{33} = -103.109329237227
x34=47.8319875395926x_{34} = 47.8319875395926
x35=51.7587989604185x_{35} = 51.7587989604185
x36=−115.080930865701x_{36} = -115.080930865701
x37=−41.6870582908352x_{37} = -41.6870582908352
x38=34.3772568547324x_{38} = 34.3772568547324
x39=107.407942520376x_{39} = 107.407942520376
x40=59.6533514231885x_{40} = 59.6533514231885
x41=−59.3470343910748x_{41} = -59.3470343910748
x42=−47.5287883412139x_{42} = -47.5287883412139
x43=65.5967547129854x_{43} = 65.5967547129854
x44=−99.1205993527235x_{44} = -99.1205993527235
x45=−119.072920781941x_{45} = -119.072920781941
x46=−77.2086687051389x_{46} = -77.2086687051389
x47=99.429350983852x_{47} = 99.429350983852
x48=−95.1329980618501x_{48} = -95.1329980618501
x49=−107.099039845199x_{49} = -107.099039845199
x50=−51.45419010544x_{50} = -51.45419010544
x51=101.42362649804x_{51} = 101.42362649804
x52=−91.146704685936x_{52} = -91.146704685936
x53=71.5523925194344x_{53} = 71.5523925194344
x54=−39.7592415204806x_{54} = -39.7592415204806
x55=36.2454042865303x_{55} = 36.2454042865303
x56=−61.3262172000187x_{56} = -61.3262172000187
x57=−53.4230249783973x_{57} = -53.4230249783973
x58=−71.2447823410302x_{58} = -71.2447823410302
x59=−113.085180982879x_{59} = -113.085180982879
x60=−101.114833112977x_{60} = -101.114833112977
x61=30.7948477241601x_{61} = 30.7948477241601
x62=57.67586733869x_{62} = 57.67586733869
x63=−43.6261544546536x_{63} = -43.6261544546536
x64=61.6328238138969x_{64} = 61.6328238138969
x65=95.4416565533312x_{65} = 95.4416565533312
x66=−63.3071694941258x_{66} = -63.3071694941258
x67=−83.1789726997072x_{67} = -83.1789726997072
x68=−121.06914228288x_{68} = -121.06914228288
x69=−69.2586229734047x_{69} = -69.2586229734047
x70=−81.1882678183563x_{70} = -81.1882678183563
x71=32.5513247142705x_{71} = 32.5513247142705
x72=79.5062407712727x_{72} = 79.5062407712727
x73=−32.2738175751516x_{73} = -32.2738175751516
x74=−73.2319064024203x_{74} = -73.2319064024203
x75=117.385891060967x_{75} = 117.385891060967
x76=73.5396566043977x_{76} = 73.5396566043977
x77=−65.2896724119287x_{77} = -65.2896724119287
x78=97.4353540260187x_{78} = 97.4353540260187
x79=83.4872456640903x_{79} = 83.4872456640903
x80=−87.1619388762717x_{80} = -87.1619388762717
x81=−67.2735421114241x_{81} = -67.2735421114241
x82=−34.0912704407968x_{82} = -34.0912704407968
x83=119.381987933686x_{83} = 119.381987933686
x84=113.394173451874x_{84} = 113.394173451874
x85=115.389949729147x_{85} = 115.389949729147
x86=103.418161552262x_{86} = 103.418161552262
x87=−111.089608132217x_{87} = -111.089608132217
x88=40.056871550139x_{88} = 40.056871550139
x89=38.1413887627425x_{89} = 38.1413887627425
x90=−75.2198969347223x_{90} = -75.2198969347223
x91=−89.1541152286569x_{91} = -89.1541152286569
x92=55.7006804984822x_{92} = 55.7006804984822
x93=−57.369883839131x_{93} = -57.369883839131
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=16\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{6}
lim⁡x→0+(−(x(1−2exex−1)+2)ex(ex−1)2)=16\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(x \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right) + 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right) = \frac{1}{6}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xex−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e^{x} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xex−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e^{x} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(exp(x) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1ex−1=−1\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞1ex−1=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} - 1} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xex−1=−x−1+e−x\frac{x}{e^{x} - 1} = - \frac{x}{-1 + e^{- x}}
- No
xex−1=x−1+e−x\frac{x}{e^{x} - 1} = \frac{x}{-1 + e^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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