Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(3*sin(x))

Gráfico de la función y = log(3*sin(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(3*sin(x))
f(x)=log⁡(3sin⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} 
f = log(3*sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-10
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(3sin⁡(x))=0\log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π−asin⁡(13)x_{1} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
x2=asin⁡(13)x_{2} = \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{3} \right)}
Solución numérica
x1=15.3681263584948x_{1} = 15.3681263584948
x2=−41.1805414061214x_{2} = -41.1805414061214
x3=−22.3309854845827x_{3} = -22.3309854845827
x4=6.62302221663371x_{4} = 6.62302221663371
x5=−47.463726713301x_{5} = -47.463726713301
x6=50.6053193668908x_{6} = 50.6053193668908
x7=78.1999794302907x_{7} = 78.1999794302907
x8=−60.0300973276602x_{8} = -60.0300973276602
x9=94.5876165171479x_{9} = 94.5876165171479
x10=46.7840528943928x_{10} = 46.7840528943928
x11=−62.4920161623417x_{11} = -62.4920161623417
x12=−53.7469120204806x_{12} = -53.7469120204806
x13=254.129168031319x_{13} = 254.129168031319
x14=−85.1628385563785x_{14} = -85.1628385563785
x15=90.7663500446499x_{15} = 90.7663500446499
x16=−16.0478001774031x_{16} = -16.0478001774031
x17=−12.2265337049051x_{17} = -12.2265337049051
x18=−75.0583867767009x_{18} = -75.0583867767009
x19=−93.9079426982397x_{19} = -93.9079426982397
x20=88.3044312099683x_{20} = 88.3044312099683
x21=34.2176822800336x_{21} = 34.2176822800336
x22=2.80175574413567x_{22} = 2.80175574413567
x23=−66.3132826348398x_{23} = -66.3132826348398
x24=84.4831647374703x_{24} = 84.4831647374703
x25=71.9167941231111x_{25} = 71.9167941231111
x26=40.5008675872132x_{26} = 40.5008675872132
x27=−49.9256455479826x_{27} = -49.9256455479826
x28=−43.642460240803x_{28} = -43.642460240803
x29=75.7380605956092x_{29} = 75.7380605956092
x30=−56.2088308551622x_{30} = -56.2088308551622
x31=82.0212459027887x_{31} = 82.0212459027887
x32=−91.4460238635581x_{32} = -91.4460238635581
x33=31.7557634453521x_{33} = 31.7557634453521
x34=−100.191128005419x_{34} = -100.191128005419
x35=44.3221340597112x_{35} = 44.3221340597112
x36=27.934496972854x_{36} = 27.934496972854
x37=−37.3592749336234x_{37} = -37.3592749336234
x38=38.0389487525316x_{38} = 38.0389487525316
x39=−81.3415720838805x_{39} = -81.3415720838805
x40=−97.7292091707377x_{40} = -97.7292091707377
x41=−5.94334839772546x_{41} = -5.94334839772546
x42=−3.48142956304392x_{42} = -3.48142956304392
x43=−87.6247573910601x_{43} = -87.6247573910601
x44=−9.7646148702235x_{44} = -9.7646148702235
x45=−18.5097190120846x_{45} = -18.5097190120846
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(3*sin(x)).
log⁡(3sin⁡(0))\log{\left(3 \sin{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         
(--, log(3))
 2          

 3*pi                
(----, pi*I + log(3))
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right]
Crece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1+cos⁡2(x)sin⁡2(x))=0- (1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(3sin⁡(x))=log⁡(⟨−3,3⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -3, 3\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−3,3⟩)y = \log{\left(\left\langle -3, 3\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(3sin⁡(x))=log⁡(⟨−3,3⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -3, 3\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−3,3⟩)y = \log{\left(\left\langle -3, 3\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(3*sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(3sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(3sin⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(3sin⁡(x))=log⁡(−3sin⁡(x))\log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
log⁡(3sin⁡(x))=−log⁡(−3sin⁡(x))\log{\left(3 \sin{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(- 3 \sin{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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