Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- (19 \sin{\left(\sqrt{19} x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{18} + 19 \cos{\left(\sqrt{19} x \right)}) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 17.8383386969039$$
$$x_{2} = 1.98182013808385$$
$$x_{3} = 86.307552259818$$
$$x_{4} = -35.4962713521321$$
$$x_{5} = 79.8207987925381$$
$$x_{6} = 42.3429010550322$$
$$x_{7} = 35.8564838675336$$
$$x_{8} = 16.3962589987325$$
$$x_{9} = 20.0000857309109$$
$$x_{10} = -83.7847128409657$$
$$x_{11} = 34.4153644903525$$
$$x_{12} = -45.5862378157438$$
$$x_{13} = 53.1543545959115$$
$$x_{14} = -52.0726880597439$$
$$x_{15} = 12.0726583214759$$
$$x_{16} = 30.0903950640639$$
$$x_{17} = 78.3790045638792$$
$$x_{18} = -29.7301992414662$$
$$x_{19} = 92.0736268149492$$
$$x_{20} = -81.6222878012479$$
$$x_{21} = -39.0997253739$$
$$x_{22} = -21.8016403804058$$
$$x_{23} = -44.1442924071731$$
$$x_{24} = 1.26113432597172$$
$$x_{25} = -99.6413295926589$$
$$x_{26} = -91.7133818284164$$
$$x_{27} = 97.8396310051747$$
$$x_{28} = 60.3615745763682$$
$$x_{29} = -47.7480295453976$$
$$x_{30} = 14.2344790722842$$
$$x_{31} = 68.2895634934508$$
$$x_{32} = -63.6048312438269$$
$$x_{33} = -95.3168743179986$$
$$x_{34} = 4.14445714699621$$
$$x_{35} = 48.1085174540459$$
$$x_{36} = 58.1989731458254$$
$$x_{37} = 989.38272092972$$
$$x_{38} = -8.10834067540243$$
$$x_{39} = 100.001805758604$$
$$x_{40} = -31.8927586202166$$
$$x_{41} = -82.3438660914141$$
$$x_{42} = 6.30686856023374$$
$$x_{43} = -70.0908028785674$$
$$x_{44} = 50.2704978681474$$
$$x_{45} = -85.9473508085614$$
$$x_{46} = -39.8206240406073$$
$$x_{47} = -19.6395800198681$$
$$x_{48} = -11.7121867996881$$
$$x_{49} = -93.8756264972675$$
$$x_{50} = -34.0549452295727$$
$$x_{51} = 53.8742026002769$$
$$x_{52} = 81.982673727597$$
$$x_{53} = -55.6761481279815$$
$$x_{54} = 89.9109913224088$$
$$x_{55} = -23.9641129126381$$
$$x_{56} = -1.62162016734916$$
$$x_{57} = 71.8933390918117$$
$$x_{58} = 9.91046775891682$$
$$x_{59} = 32.2530202145542$$
$$x_{60} = -62.1634023800515$$
$$x_{61} = -75.8564896405227$$
$$x_{62} = 96.3980020969127$$
$$x_{63} = 38.0189991331808$$
$$x_{64} = -49.9101620992528$$
$$x_{65} = 66.1275181585432$$
$$x_{66} = 56.036405021783$$
$$x_{67} = -3.78421633182046$$
$$x_{68} = 84.144949641202$$
$$x_{69} = -26.1267495946787$$
$$x_{70} = -5.94647666606874$$
$$x_{71} = -88.1098077014585$$
$$x_{72} = -13.8739441767131$$
$$x_{73} = 74.0551951767426$$
$$x_{74} = 45.9467694361715$$
$$x_{75} = 27.9278717385303$$
$$x_{76} = -37.6586574155057$$
$$x_{77} = -73.6946598879328$$
$$x_{78} = -41.9823708166225$$
$$x_{79} = 62.5238475345719$$
$$x_{80} = 40.1811160542568$$
$$x_{81} = -96.0374799932567$$
$$x_{82} = -78.0186960137561$$
$$x_{83} = -57.8387768251908$$
$$x_{84} = 63.9650580952362$$
$$x_{85} = -60.0012893532383$$
$$x_{86} = -16.0358108793466$$
$$x_{87} = 22.162004186949$$
$$x_{88} = 76.2169563849449$$
$$x_{89} = 24.3243363662851$$
$$x_{90} = -67.9290544628594$$
$$x_{91} = -89.5507926247334$$
$$x_{92} = 94.2360243262519$$
$$x_{93} = -65.7671483275469$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[989.38272092972, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -96.0374799932567\right]$$