log(x)x-2log(x)x+2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x \log{\left(x \right)} - x 2 \log{\left(x \right)}\right) + 2 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x \log{\left(x \right)} - x 2 \log{\left(x \right)}\right) + 2 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{W\left(2\right)}$$
$$x_{1} = e^{W\left(2\right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{W\left(2\right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x \log{\left(x \right)} - x 2 \log{\left(x \right)}\right) + 2 \leq 0$$
$$\left(\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)}\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)} \right)} - \left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)}\right) 2 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{W\left(2\right)} \right)}\right) + 2 \leq 0$$

    /  1     W(2)\    /  1     W(2)\     
2 - |- -- + e    |*log|- -- + e    | <= 0
    \  10        /    \  10        /     

pero

    /  1     W(2)\    /  1     W(2)\     
2 - |- -- + e    |*log|- -- + e    | >= 0
    \  10        /    \  10        /     

Entonces
$$x \leq e^{W\left(2\right)}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq e^{W\left(2\right)}$$

         _____  
        /
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       x1