Sr Examen

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logx*(x-2)*logx*(x+2)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
log(x)*(x - 2)*log(x)*(x + 2) <= 0
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \leq 0$$
(((x - 2)*log(x))*log(x))*(x + 2) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right) \log{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} \left(x + 2\right) \leq 0$$
$$\left(- \frac{21}{10} - 2\right) \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \log{\left(- \frac{21}{10} \right)} \left(- \frac{21}{10} + 2\right) \leq 0$$
 /        /21\          \                       
 |  41*log|--|          |                       
 |        \10/   41*pi*I| /          /21\\      
-|- ---------- - -------|*|pi*I + log|--||  <= 0
 \      10          10  / \          \10//      
-------------------------------------------     
                     10                         

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$
         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 1$$
$$x \geq 2$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
(0, 2]
$$x\ in\ \left(0, 2\right]$$
x in Interval.Lopen(0, 2)
Respuesta rápida [src]
And(x <= 2, 0 < x)
$$x \leq 2 \wedge 0 < x$$
(x <= 2)∧(0 < x)