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Resolver desigualdades/ log(x)/log(2)+log(3)/log(2)*log(3)/log(x)+log(3)/log(sqrt(2))<0

log(x)/log(2)+log(3)/log(2)*log(3)/log(x)+log(3)/log(sqrt(2))<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
         log(3)                        
         ------*log(3)                 
log(x)   log(2)            log(3)      
------ + ------------- + ---------- < 0
log(2)       log(x)         /  ___\    
                         log\\/ 2 /
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\sqrt{2} \right)}} < 0$$ 
log(x)/log(2) + ((log(3)/log(2))*log(3))/log(x) + log(3)/log(sqrt(2)) < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\sqrt{2} \right)}} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\sqrt{2} \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(x \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\sqrt{2} \right)}} < 0$$
$$\left(\frac{\log{\left(\frac{7}{30} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\frac{7}{30} \right)}}\right) + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(\sqrt{2} \right)}} < 0$$
                                2            
log(7/30)     log(3)         log (3)         
--------- + ---------- + ---------------- < 0
  log(2)       /  ___\   log(2)*log(7/30)    
            log\\/ 2 /

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1}{3}$$
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src] 
Or(And(0 < x, x < 1/3), And(1/3 < x, x < 1))
$$\left(0 < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(\frac{1}{3} < x \wedge x < 1\right)$$ 
((0 < x)∧(x < 1/3))∨((1/3 < x)∧(x < 1))
Respuesta rápida 2 [src] 
(0, 1/3) U (1/3, 1)
$$x\ in\ \left(0, \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, 1\right)$$ 
x in Union(Interval.open(0, 1/3), Interval.open(1/3, 1))
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