(x^2-9)*sqrt(2-x)/(2x+3)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\sqrt{2 - x} \left(x^{2} - 9\right)}{2 x + 3} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\sqrt{2 - x} \left(x^{2} - 9\right)}{2 x + 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\sqrt{2 - x} \left(x^{2} - 9\right)}{2 x + 3} = 0$$
denominador
$$2 x + 3$$
entonces

x no es igual a -3/2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 9 = 0$$
$$2 - x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x^{2} - 9 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-9) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
2.
$$2 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -2 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x3 = 2
pero

x no es igual a -3/2

$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\sqrt{2 - x} \left(x^{2} - 9\right)}{2 x + 3} \geq 0$$
$$\frac{\left(-9 + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right) \sqrt{2 - - \frac{31}{10}}}{\frac{\left(-31\right) 2}{10} + 3} \geq 0$$

      _____     
-61*\/ 510      
----------- >= 0
    3200        
     

pero

      _____    
-61*\/ 510     
----------- < 0
    3200       
    

Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq 2$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq -3 \wedge x \leq 2$$
$$x \geq 3$$