log(x)6-x>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + 6 \log{\left(x \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + 6 \log{\left(x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + 6 \log{\left(x \right)} > 2$$
$$6 \log{\left(- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right) \right)} - \left(- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)\right) > 2$$

        /  1/3 \        /          /  1/3 \\    
1       |-e    |        |  1       |-e    ||    
-- + 6*W|------| + 6*log|- -- - 6*W|------|| > 2
10      \  6   /        \  10      \  6   //    
    

Entonces
$$x < - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - 6 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right) \wedge x < - 6 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{3}}}{6}\right)$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2