log(3)((3x-2)/(2x-3))⩽1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3 x - 2}{2 x - 3} \log{\left(3 \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3 x - 2}{2 x - 3} \log{\left(3 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{3 x - 2}{2 x - 3} \log{\left(3 \right)} = 1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{- 2 x + 3 x \log{\left(3 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)} + 3}{2 x - 3} = 0$$
denominador
$$2 x - 3$$
entonces

x no es igual a 3/2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x \left(-2 + 3 \log{\left(3 \right)}\right) - 2 \log{\left(3 \right)} + 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x \left(-2 + 3 \log{\left(3 \right)}\right) - 2 \log{\left(3 \right)} + 3 = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

3 - 2*log3 + x-2+3*log+3) = 0

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

3 - 2*log(3) + x*(-2 + 3*log(3)) = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \left(-2 + 3 \log{\left(3 \right)}\right) - 2 \log{\left(3 \right)} = -3$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-2*log(3) + x*(-2 + 3*log(3)))/x

x = -3 / ((-2*log(3) + x*(-2 + 3*log(3)))/x)

Obtenemos la respuesta: x1 = (3 - log(9))/(2 - log(27))
pero

x no es igual a 3/2

$$x_{1} = \frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3 x - 2}{2 x - 3} \log{\left(3 \right)} \leq 1$$
$$\frac{3 \left(\frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}} - \frac{1}{10}\right) - 2}{-3 + 2 \left(\frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}} - \frac{1}{10}\right)} \log{\left(3 \right)} \leq 1$$

/  23   3*(3 - log(9))\            
|- -- + --------------|*log(3)     
\  10    2 - log(27)  /            
------------------------------ <= 1
      16   2*(3 - log(9))          
    - -- + --------------          
      5     2 - log(27)            

pero

/  23   3*(3 - log(9))\            
|- -- + --------------|*log(3)     
\  10    2 - log(27)  /            
------------------------------ >= 1
      16   2*(3 - log(9))          
    - -- + --------------          
      5     2 - log(27)            

Entonces
$$x \leq \frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{3 - \log{\left(9 \right)}}{2 - \log{\left(27 \right)}}$$

         _____  
        /
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       x1