sin(x)+cos(x)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = -1$$
o
$$\tan{\left(x \right)} = -1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \geq 0$$
$$\sin{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq 0$$

   /  1    pi       \      /  1    pi       \     
cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
   \  10   4        /      \  10   4        /     

pero

   /  1    pi       \      /  1    pi       \    
cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| < 0
   \  10   4        /      \  10   4        /    

Entonces
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \pi n + \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
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       x1