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Resolver desigualdades/ cos(x/2)+sqrt(2)/2>=0

cos(x/2)+sqrt(2)/2>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
           ___     
   /x\   \/ 2      
cos|-| + ----- >= 0
   \2/     2
cos⁡(x2)+22≥0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0 
cos(x/2) + sqrt(2)/2 >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(x2)+22≥0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(x2)+22=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(x2)+22=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
es la ecuación trigonométrica más simple
Transportemos sqrt(2)/2 al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de sqrt(2)/2

Obtenemos:
cos⁡(x2)−22+22=−22\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
x2=πn+acos⁡(−22)\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x2=πn−π+acos⁡(−22)\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
O
x2=πn+3π4\frac{x}{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}
x2=πn−π4\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
12\frac{1}{2}
x1=2πn+3π2x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x2=2πn−π2x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}
x1=2πn+3π2x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x2=2πn−π2x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}
Las raíces dadas
x1=2πn+3π2x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x2=2πn−π2x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(2πn+3π2)+−110\left(2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
2πn−110+3π22 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{2}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(x2)+22≥0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0
cos⁡(2πn−110+3π22)+22≥0\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{2}}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0
  ___                             
\/ 2       /  1    pi       \     
----- - sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
  2        \  20   4        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤2πn+3π2x \leq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤2πn+3π2x \leq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x≥2πn−π2x \geq 2 \pi n - \frac{\pi}{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
Respuesta rápida 2 [src] 
          /   _____________\             /   _____________\              
          |  /         ___ |             |  /         ___ |              
[0, 4*atan\\/  3 + 2*\/ 2  /] U [- 4*atan\\/  3 + 2*\/ 2  / + 4*pi, 4*pi]
x in [0,4atan⁡(22+3)]∪[−4atan⁡(22+3)+4π,4π]x\ in\ \left[0, 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)}\right] \cup \left[- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)} + 4 \pi, 4 \pi\right] 
x in Union(Interval(0, 4*atan(sqrt(2*sqrt(2) + 3))), Interval(-4*atan(sqrt(2*sqrt(2) + 3)) + 4*pi, 4*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /                   /   _____________\\     /                   /   _____________\            \\
  |   |                   |  /         ___ ||     |                   |  /         ___ |            ||
Or\And\0 <= x, x <= 4*atan\\/  3 + 2*\/ 2  //, And\x <= 4*pi, - 4*atan\\/  3 + 2*\/ 2  / + 4*pi <= x//
(0≤x∧x≤4atan⁡(22+3))∨(x≤4π∧−4atan⁡(22+3)+4π≤x)\left(0 \leq x \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{2} + 3} \right)} + 4 \pi \leq x\right) 
((0 <= x)∧(x <= 4*atan(sqrt(3 + 2*sqrt(2)))))∨((x <= 4*pi)∧(-4*atan(sqrt(3 + 2*sqrt(2))) + 4*pi <= x))
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