cos(x/2)+sqrt(2)/2>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Transportemos sqrt(2)/2 al miembro derecho de la ecuación

cambiando el signo de sqrt(2)/2

Obtenemos:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0$$
$$\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{2}}{2} \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} \geq 0$$

  ___                             
\/ 2       /  1    pi       \     
----- - sin|- -- + -- + pi*n| >= 0
  2        \  20   4        /     
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x \geq 2 \pi n - \frac{\pi}{2}$$