Sr Examen

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cos(x/2)>(√3/2) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
           ___
   /x\   \/ 3 
cos|-| > -----
   \2/     2  
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
cos(x/2) > sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 3 
cos|- -- + -- + pi*n| > -----
   \  20   6        /     2  
                        

Entonces
$$x < 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x < 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}$$
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
          /   _____________\             /   _____________\              
          |  /         ___ |             |  /         ___ |              
[0, 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  /) U (- 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  / + 4*pi, 4*pi]
$$x\ in\ \left[0, 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)}\right) \cup \left(- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)} + 4 \pi, 4 \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, 4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3)))), Interval.Lopen(-4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3))) + 4*pi, 4*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /                  /   _____________\\     /                   /   _____________\           \\
  |   |                  |  /         ___ ||     |                   |  /         ___ |           ||
Or\And\0 <= x, x < 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  //, And\x <= 4*pi, - 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  / + 4*pi < x//
$$\left(0 \leq x \wedge x < 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)} + 4 \pi < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < 4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3)))))∨((x <= 4*pi)∧(-4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3))) + 4*pi < x))