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Resolver desigualdades/ cos(x/2)>(√3/2)

cos(x/2)>(√3/2) desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
           ___
   /x\   \/ 3 
cos|-| > -----
   \2/     2
cos⁡(x2)>32\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2} 
cos(x/2) > sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(x2)>32\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(x2)=32\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(x2)=32\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x2=πn+acos⁡(32)\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
x2=πn−π+acos⁡(32)\frac{x}{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
O
x2=πn+π6\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{6}
x2=πn−5π6\frac{x}{2} = \pi n - \frac{5 \pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
12\frac{1}{2}
x1=2πn+π3x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}
x2=2πn−5π3x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}
x1=2πn+π3x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}
x2=2πn−5π3x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}
Las raíces dadas
x1=2πn+π3x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}
x2=2πn−5π3x_{2} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(2πn+π3)+−110\left(2 \pi n + \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}
=
2πn−110+π32 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(x2)>32\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(2πn−110+π32)>32\cos{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}}{2} \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 3 
cos|- -- + -- + pi*n| > -----
   \  20   6        /     2

Entonces
x<2πn+π3x < 2 \pi n + \frac{\pi}{3}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>2πn+π3∧x<2πn−5π3x > 2 \pi n + \frac{\pi}{3} \wedge x < 2 \pi n - \frac{5 \pi}{3}
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-20-15-10-51015202-2
Respuesta rápida 2 [src] 
          /   _____________\             /   _____________\              
          |  /         ___ |             |  /         ___ |              
[0, 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  /) U (- 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  / + 4*pi, 4*pi]
x in [0,4atan⁡(7−43))∪(−4atan⁡(7−43)+4π,4π]x\ in\ \left[0, 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)}\right) \cup \left(- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)} + 4 \pi, 4 \pi\right] 
x in Union(Interval.Ropen(0, 4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3)))), Interval.Lopen(-4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3))) + 4*pi, 4*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /                  /   _____________\\     /                   /   _____________\           \\
  |   |                  |  /         ___ ||     |                   |  /         ___ |           ||
Or\And\0 <= x, x < 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  //, And\x <= 4*pi, - 4*atan\\/  7 - 4*\/ 3  / + 4*pi < x//
(0≤x∧x<4atan⁡(7−43))∨(x≤4π∧−4atan⁡(7−43)+4π<x)\left(0 \leq x \wedge x < 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)}\right) \vee \left(x \leq 4 \pi \wedge - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} \right)} + 4 \pi < x\right) 
((0 <= x)∧(x < 4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3)))))∨((x <= 4*pi)∧(-4*atan(sqrt(7 - 4*sqrt(3))) + 4*pi < x))
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