Sr Examen

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cosx<=sqrt2/2

cosx<=sqrt2/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
            ___
          \/ 2 
cos(x) <= -----
            2  
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
cos(x) <= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
                           ___
   /  1    pi       \    \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| <= -----
   \  10   4        /      2  
                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \pi n - \frac{3 \pi}{4}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
 pi  7*pi 
[--, ----]
 4    4   
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right]$$
x in Interval(pi/4, 7*pi/4)
Respuesta rápida [src]
   /pi            7*pi\
And|-- <= x, x <= ----|
   \4              4  /
$$\frac{\pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{7 \pi}{4}$$
(pi/4 <= x)∧(x <= 7*pi/4)
Gráfico
cosx<=sqrt2/2 desigualdades