Sr Examen

Otras calculadoras

sin^2x>1/4
Resolver desigualdades/ sin^2x>1/4

sin^2x>1/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   2         
sin (x) > 1/4
sin⁡2(x)>14\sin^{2}{\left(x \right)} > \frac{1}{4} 
sin(x)^2 > 1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡2(x)>14\sin^{2}{\left(x \right)} > \frac{1}{4}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡2(x)=14\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{4}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡2(x)=14\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{4}
cambiamos
sin⁡2(x)−14=0\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{4} = 0
sin⁡2(x)−14=0\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{4} = 0
Sustituimos
w=sin⁡(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=0b = 0
c=−14c = - \frac{1}{4}
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/4) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=12w_{1} = \frac{1}{2}
w2=−12w_{2} = - \frac{1}{2}
hacemos cambio inverso
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin⁡(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin⁡(12)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}
x1=2πn+π6x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}
x2=2πn+asin⁡(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(−12)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}
x2=2πn−π6x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}
x3=2πn−asin⁡(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πn−asin⁡(12)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi
x3=2πn+5π6x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}
x4=2πn−asin⁡(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πn−asin⁡(−12)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi
x4=2πn+7π6x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
x4=7π6x_{4} = \frac{7 \pi}{6}
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
x4=7π6x_{4} = \frac{7 \pi}{6}
Las raíces dadas
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=π6x_{2} = \frac{\pi}{6}
x3=5π6x_{3} = \frac{5 \pi}{6}
x4=7π6x_{4} = \frac{7 \pi}{6}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−π6−110- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}
=
−π6−110- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡2(x)>14\sin^{2}{\left(x \right)} > \frac{1}{4}
sin⁡2(−π6−110)>14\sin^{2}{\left(- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} > \frac{1}{4}
   2/1    pi\      
sin |-- + --| > 1/4
    \10   6 /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<−π6x < - \frac{\pi}{6}
 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<−π6x < - \frac{\pi}{6}
x>π6∧x<5π6x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{5 \pi}{6}
x>7π6x > \frac{7 \pi}{6}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-70-60-50-40-30-20-101020304050607002
Respuesta rápida [src] 
  /   /pi          5*pi\     /7*pi          11*pi\\
Or|And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < -----||
  \   \6            6  /     \ 6              6  //
(π6<x∧x<5π6)∨(7π6<x∧x<11π6)\left(\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \frac{11 \pi}{6}\right) 
((pi/6 < x)∧(x < 5*pi/6))∨((7*pi/6 < x)∧(x < 11*pi/6))
Respuesta rápida 2 [src] 
 pi  5*pi     7*pi  11*pi 
(--, ----) U (----, -----)
 6    6        6      6
x in (π6,5π6)∪(7π6,11π6)x\ in\ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right) 
x in Union(Interval.open(pi/6, 5*pi/6), Interval.open(7*pi/6, 11*pi/6))
Gráfico
sin^2x>1/4 desigualdades
    © Sr Examen – Калькулятор