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Resolver desigualdades/ (sqrt(x^2-2x+1)-sqrt(x^2+2x))/(x^2+x-4)<=0

(sqrt(x^2-2x+1)-sqrt(x^2+2x))/(x^2+x-4)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   ______________      __________     
  /  2                /  2            
\/  x  - 2*x + 1  - \/  x  + 2*x      
--------------------------------- <= 0
             2                        
            x  + x - 4
−x2+2x+(x2−2x)+1(x2+x)−4≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}}{\left(x^{2} + x\right) - 4} \leq 0 
(-sqrt(x^2 + 2*x) + sqrt(x^2 - 2*x + 1))/(x^2 + x - 4) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−x2+2x+(x2−2x)+1(x2+x)−4≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}}{\left(x^{2} + x\right) - 4} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−x2+2x+(x2−2x)+1(x2+x)−4=0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}}{\left(x^{2} + x\right) - 4} = 0
Resolvemos:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Las raíces dadas
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+14- \frac{1}{10} + \frac{1}{4}
=
320\frac{3}{20}
lo sustituimos en la expresión
−x2+2x+(x2−2x)+1(x2+x)−4≤0\frac{- \sqrt{x^{2} + 2 x} + \sqrt{\left(x^{2} - 2 x\right) + 1}}{\left(x^{2} + x\right) - 4} \leq 0
−(320)2+2⋅320+(−2⋅320+(320)2)+1−4+((320)2+320)≤0\frac{- \sqrt{\left(\frac{3}{20}\right)^{2} + \frac{2 \cdot 3}{20}} + \sqrt{\left(- \frac{2 \cdot 3}{20} + \left(\frac{3}{20}\right)^{2}\right) + 1}}{-4 + \left(\left(\frac{3}{20}\right)^{2} + \frac{3}{20}\right)} \leq 0
              _____     
  340    20*\/ 129      
- ---- + ---------- <= 0
  1531      1531

significa que la solución de la desigualdad será con:
x≤14x \leq \frac{1}{4}
 _____          
      \    
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-40-30-20-1010203040-50005000
Respuesta rápida [src] 
  /                          /                 ____    \     /                ____    \\
  |                          |           1   \/ 17     |     |          1   \/ 17     ||
Or|And(0 <= x, x <= 1/4), And|x <= -2, - - - ------ < x|, And|x < oo, - - + ------ < x||
  \                          \           2     2       /     \          2     2       //
(0≤x∧x≤14)∨(x≤−2∧−172−12<x)∨(x<∞∧−12+172<x)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{1}{4}\right) \vee \left(x \leq -2 \wedge - \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2} < x\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} < x\right) 
((0 <= x)∧(x <= 1/4))∨((x <= -2)∧(-1/2 - sqrt(17)/2 < x))∨((x < oo)∧(-1/2 + sqrt(17)/2 < x))
Respuesta rápida 2 [src] 
         ____                            ____     
   1   \/ 17                       1   \/ 17      
(- - - ------, -2] U [0, 1/4] U (- - + ------, oo)
   2     2                         2     2
x in (−172−12,−2]∪[0,14]∪(−12+172,∞)x\ in\ \left(- \frac{\sqrt{17}}{2} - \frac{1}{2}, -2\right] \cup \left[0, \frac{1}{4}\right] \cup \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}, \infty\right) 
x in Union(Interval(0, 1/4), Interval.open(-1/2 + sqrt(17)/2, oo), Interval.Lopen(-sqrt(17)/2 - 1/2, -2))
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