2*sin(x)<=-√2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(x \right)} \leq - \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(x \right)} = - \sqrt{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(x \right)} \leq - \sqrt{2}$$
$$2 \sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \leq - \sqrt{2}$$

      /1    pi         \       ___
-2*sin|-- + -- - 2*pi*n| <= -\/ 2 
      \10   4          /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$