Sr Examen

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log(1/5)(2-x)>-1 desigualdades

Ha introducido [src]

log(1/5)*(2 - x) > -1

\left(2 - x\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} > -1

(2 - x)*log(1/5) > -1

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(2 - x\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} > -1

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(2 - x\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} = -1

Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(1/5)*(2-x) = -1

Abrimos la expresión:

-2*log(5) + x*log(5) = -1

Reducimos, obtenemos:

1 - 2*log(5) + x*log(5) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

1 - 2*log5 + x*log5 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:

x \log{\left(5 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} = -1

Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-2*log(5) + x*log(5))/x

x = -1 / ((-2*log(5) + x*log(5))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (-1 + log(25))/log(5)

x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

lo sustituimos en la expresión

\left(2 - x\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} > -1

\left(2 - \left(- \frac{1}{10} + \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}\right)\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} > -1

 /21   -1 + log(25)\            
-|-- - ------------|*log(5) > -1
 \10      log(5)   /

Entonces

x < \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:

x > \frac{-1 + \log{\left(25 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida 2 [src]

 -(1 - 2*log(5))      
(----------------, oo)
      log(5)

x\ in\ \left(- \frac{1 - 2 \log{\left(5 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}, \infty\right)

x in Interval.open(-(1 - 2*log(5))/log(5), oo)

Respuesta rápida [src]

   /        -(1 - 2*log(5))     \
And|x < oo, ---------------- < x|
   \             log(5)         /

x < \infty \wedge - \frac{1 - 2 \log{\left(5 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < x

(x < oo)∧(-(1 - 2*log(5))/log(5) < x)