logx(6-x)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(6 - x\right) \log{\left(x \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(6 - x\right) \log{\left(x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 4.70929243008634$$
$$x_{2} = 1.57073223810785$$
$$x_{1} = 4.70929243008634$$
$$x_{2} = 1.57073223810785$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1.57073223810785$$
$$x_{1} = 4.70929243008634$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.57073223810785$$
=
$$1.47073223810785$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(6 - x\right) \log{\left(x \right)} > 2$$
$$\left(6 - 1.47073223810785\right) \log{\left(1.47073223810785 \right)} > 2$$

1.74721213416485 > 2

Entonces
$$x < 1.57073223810785$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1.57073223810785 \wedge x < 4.70929243008634$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1