x+ln(x-1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + \log{\left(x - 1 \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \log{\left(x - 1 \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right) + 1$$
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right) + 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = W\left(e^{-1}\right) + 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(W\left(e^{-1}\right) + 1\right)$$
=
$$W\left(e^{-1}\right) + \frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \log{\left(x - 1 \right)} < 0$$
$$\log{\left(-1 + \left(W\left(e^{-1}\right) + \frac{9}{10}\right) \right)} + \left(W\left(e^{-1}\right) + \frac{9}{10}\right) < 0$$

9     / -1\      /  1     / -1\\    
-- + W\e  / + log|- -- + W\e  /| < 0
10               \  10         /    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < W\left(e^{-1}\right) + 1$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1