abs(x^2-1)-abs(x^2+4*x-5)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x^{2} - 1}\right| - \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x^{2} - 1}\right| - \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 1 \geq 0$$
$$x^{2} + 4 x - 5 \geq 0$$
o
$$\left(1 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -5 \wedge -\infty < x\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 1\right) - \left(x^{2} + 4 x - 5\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 - 4 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$x^{2} - 1 \geq 0$$
$$x^{2} + 4 x - 5 < 0$$
o
$$x \leq -1 \wedge -5 < x$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 1\right) - \left(- x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 1$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

3.
$$x^{2} - 1 < 0$$
$$x^{2} + 4 x - 5 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x^{2} - 1 < 0$$
$$x^{2} + 4 x - 5 < 0$$
o
$$-1 < x \wedge x < 1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - x^{2}\right) - \left(- x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$4 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = 1$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x^{2} - 1}\right| - \left|{\left(x^{2} + 4 x\right) - 5}\right| \leq 0$$
$$- \left|{-5 + \left(\frac{\left(-31\right) 4}{10} + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right)}\right| + \left|{-1 + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}}\right| \leq 0$$

41     
-- <= 0
50     

pero

41     
-- >= 0
50     

Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1