ctg^2x+ctgx>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos
$$\left(\cot{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} = 0$$
$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 0$$
$$w_{2} = -1$$
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot^{2}{\left(x \right)} + \cot{\left(x \right)} \geq 0$$
$$\cot{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + \cot^{2}{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} \geq 0$$

   2/1    pi\      /1    pi\     
cot |-- + --| - cot|-- + --| >= 0
    \10   4 /      \10   4 /     

pero

   2/1    pi\      /1    pi\    
cot |-- + --| - cot|-- + --| < 0
    \10   4 /      \10   4 /    

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2