lg(x)(x^2-5)-xlg(x)/lg(2)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(x^{2} - 5\right) \log{\left(x \right)} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(x^{2} - 5\right) \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = \frac{1 + \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = \frac{1 + \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1 + \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \left(x^{2} - 5\right) \log{\left(x \right)} \geq 0$$
$$\left(-5 + \left(\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right)^{2}\right) \log{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10} \right)} - \frac{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right) \log{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} \geq 0$$

                                                                                      /              ________________\ /          /            ________________\\     
/                                     2\                                              |             /           2    | |          |           /           2    ||     
|     /              ________________\ | /          /            ________________\\   |  1    1 - \/  1 + 20*log (2) | |          |1    1 - \/  1 + 20*log (2) ||     
|     |             /           2    | | |          |           /           2    ||   |- -- + -----------------------|*|pi*I + log|-- - -----------------------|| >= 0
|     |  1    1 - \/  1 + 20*log (2) | | |          |1    1 - \/  1 + 20*log (2) ||   \  10           2*log(2)       / \          \10           2*log(2)       //     
|-5 + |- -- + -----------------------| |*|pi*I + log|-- - -----------------------|| - ---------------------------------------------------------------------------     
\     \  10           2*log(2)       / / \          \10           2*log(2)       //                                      log(2)                                       

Entonces
$$x \leq \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq 1$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------•-------•-------•-------
       x2      x1      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq \frac{1 - \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \wedge x \leq 1$$
$$x \geq \frac{1 + \sqrt{1 + 20 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$