logx-1(x+1)/5<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \frac{x + 1}{5} + \log{\left(x \right)} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{x + 1}{5} + \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
$$x_{2} = - 5 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
$$x_{1} = - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
$$x_{2} = - 5 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
$$x_{2} = - 5 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{x + 1}{5} + \log{\left(x \right)} \leq 0$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right) \right)} - \frac{1 + \left(- \frac{1}{10} - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)\right)}{5} \leq 0$$

        /  1/5 \      /          /  1/5 \\     
  9     |-e    |      |  1       |-e    ||     
- -- + W|------| + log|- -- - 5*W|------|| <= 0
  50    \  5   /      \  10      \  5   //     
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - 5 W\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$
$$x \geq - 5 W_{-1}\left(- \frac{e^{\frac{1}{5}}}{5}\right)$$