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Resolver desigualdades/ log((x-1)*x+1/5)<=0

log((x-1)*x+1/5)<=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log((x - 1)*x + 1/5) <= 0
log⁡(x(x−1)+15)≤0\log{\left(x \left(x - 1\right) + \frac{1}{5} \right)} \leq 0 
log(x*(x - 1) + 1/5) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(x(x−1)+15)≤0\log{\left(x \left(x - 1\right) + \frac{1}{5} \right)} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(x(x−1)+15)=0\log{\left(x \left(x - 1\right) + \frac{1}{5} \right)} = 0
Resolvemos:
x1=12−10510x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}
x2=12+10510x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10}
x1=12−10510x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}
x2=12+10510x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10}
Las raíces dadas
x1=12−10510x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}
x2=12+10510x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(12−10510)+−110\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}\right) + - \frac{1}{10}
=
25−10510\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{105}}{10}
lo sustituimos en la expresión
log⁡(x(x−1)+15)≤0\log{\left(x \left(x - 1\right) + \frac{1}{5} \right)} \leq 0
log⁡(15+(−1+(25−10510))(25−10510))≤0\log{\left(\frac{1}{5} + \left(-1 + \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{105}}{10}\right)\right) \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{105}}{10}\right) \right)} \leq 0
   /    /        _____\ /      _____\\     
   |1   |  3   \/ 105 | |2   \/ 105 ||     
log|- + |- - - -------|*|- - -------|| <= 0
   \5   \  5      10  / \5      10  //

pero
   /    /        _____\ /      _____\\     
   |1   |  3   \/ 105 | |2   \/ 105 ||     
log|- + |- - - -------|*|- - -------|| >= 0
   \5   \  5      10  / \5      10  //

Entonces
x≤12−10510x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥12−10510∧x≤12+10510x \geq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10} \wedge x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-20-15-10-5101520-1010
Respuesta rápida [src] 
  /   /           _____        ___    \     /      _____                 ___\\
  |   |     1   \/ 105   1   \/ 5     |     |1   \/ 105            1   \/ 5 ||
Or|And|x <= - + -------, - + ----- < x|, And|- - ------- <= x, x < - - -----||
  \   \     2      10    2     10     /     \2      10             2     10 //
(x≤12+10510∧510+12<x)∨(12−10510≤x∧x<12−510)\left(x \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10} \wedge \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2} < x\right) \vee \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10} \leq x \wedge x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) 
((x <= 1/2 + sqrt(105)/10)∧(1/2 + sqrt(5)/10 < x))∨((1/2 - sqrt(105)/10 <= x)∧(x < 1/2 - sqrt(5)/10))
Respuesta rápida 2 [src] 
       _____        ___           ___        _____ 
 1   \/ 105   1   \/ 5      1   \/ 5   1   \/ 105  
[- - -------, - - -----) U (- + -----, - + -------]
 2      10    2     10      2     10   2      10
x in [12−10510,12−510)∪(510+12,12+10510]x\ in\ \left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{105}}{10}, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{105}}{10}\right] 
x in Union(Interval.Ropen(1/2 - sqrt(105)/10, 1/2 - sqrt(5)/10), Interval.Lopen(sqrt(5)/10 + 1/2, 1/2 + sqrt(105)/10))
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