sin(x+pi/3)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
es la ecuación trigonométrica más simple

cambiando el signo de 0

Obtenemos:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(0 \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(0 \right)} + \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n$$
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} < 0$$
$$\sin{\left(\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} < 0$$

sin(-1/10 + 2*pi*n) < 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x > 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$