(sinx-2)(sinx+1/2)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = 0$$
cambiamos
$$\frac{\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(2 \sin{\left(x \right)} + 1\right)}{2} = 0$$
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(w - 2\right) \left(w + \frac{1}{2}\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$w^{2} - \frac{3 w}{2} - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = - \frac{3}{2}$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3/2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 25/4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = - \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(x \right)} - 2\right) \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2}\right) \geq 0$$
$$\left(-2 + \sin{\left(- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)}\right) \left(\sin{\left(- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} + \frac{1}{2}\right) \geq 0$$

/1      /1    pi\\ /        /1    pi\\     
|- - sin|-- + --||*|-2 - sin|-- + --|| >= 0
\2      \10   6 // \        \10   6 //     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{7 \pi}{6}$$