Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 4\right) \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2}}}{x - 5} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 4\right) \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2}}}{x - 5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right) \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2}}}{x - 5} = 0$$
denominador
$$x - 5$$
entonces
x no es igual a 5
denominador
$$x^{2} - x - 2$$
entonces
x no es igual a -1
x no es igual a 2
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
pero
x no es igual a 5
x no es igual a -1
x no es igual a 2
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 4$$
=
$$\frac{39}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 4\right) \frac{1}{\sqrt{\left(x^{2} - x\right) - 2}}}{x - 5} \leq 0$$
$$\frac{\left(-4 + \frac{39}{10}\right) \frac{1}{\sqrt{-2 + \left(- \frac{39}{10} + \left(\frac{39}{10}\right)^{2}\right)}}}{-5 + \frac{39}{10}} \leq 0$$
____
10*\/ 19
--------- <= 0
1463
pero
____
10*\/ 19
--------- >= 0
1463
Entonces
$$x \leq 4$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 4$$
_____
/
-------•-------
x1