tg(x/2)⩽1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq 1$$
$$\tan{\left(\frac{2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{2} \right)} \leq 1$$

   /  1    pi       \     
tan|- -- + -- + pi*n| <= 1
   \  20   4        /     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$

 _____          
      \    
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       x1