log(3)^2*(x+2)+log(4)*(x+3)-1>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(x + 2\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(x + 3\right) \log{\left(4 \right)}\right) - 1 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(x + 2\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(x + 3\right) \log{\left(4 \right)}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(3)^2*(x+2)+log(4)*(x+3)-1 = 0

Abrimos la expresión:

2*log(3)^2 + 6*log(2) + x*log(3)^2 + 2*x*log(2) - 1 = 0

Reducimos, obtenemos:

-1 + 2*log(3)^2 + 6*log(2) + x*log(3)^2 + 2*x*log(2) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 + 2*log3^2 + 6*log2 + x*log3^2 + 2*x*log2 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 x \log{\left(2 \right)} + 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 6 \log{\left(2 \right)} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (2*log(3)^2 + 6*log(2) + x*log(3)^2 + 2*x*log(2))/x

x = 1 / ((2*log(3)^2 + 6*log(2) + x*log(3)^2 + 2*x*log(2))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (1 - log(64) - 2*log(3)^2)/(log(3)^2 + log(4))
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(x + 2\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(x + 3\right) \log{\left(4 \right)}\right) - 1 \geq 0$$
$$-1 + \left(\left(\left(\frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}} - \frac{1}{10}\right) + 2\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(\left(\frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}} - \frac{1}{10}\right) + 3\right) \log{\left(4 \right)}\right) \geq 0$$

             /                        2   \   /                        2   \            
        2    |19   1 - log(64) - 2*log (3)|   |29   1 - log(64) - 2*log (3)|            
-1 + log (3)*|-- + -----------------------| + |-- + -----------------------|*log(4) >= 0
             |10          2               |   |10          2               |            
             \         log (3) + log(4)   /   \         log (3) + log(4)   /            

pero

             /                        2   \   /                        2   \           
        2    |19   1 - log(64) - 2*log (3)|   |29   1 - log(64) - 2*log (3)|           
-1 + log (3)*|-- + -----------------------| + |-- + -----------------------|*log(4) < 0
             |10          2               |   |10          2               |           
             \         log (3) + log(4)   /   \         log (3) + log(4)   /           

Entonces
$$x \leq \frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{- \log{\left(64 \right)} - 2 \log{\left(3 \right)}^{2} + 1}{\log{\left(3 \right)}^{2} + \log{\left(4 \right)}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1