cos(2*x)+5*cos(-x)+3>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(5 \cos{\left(- x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(5 \cos{\left(- x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi - i \log{\left(2 - \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = \pi - i \log{\left(\sqrt{3} + 2 \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(5 \cos{\left(- x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) + 3 \geq 0$$
$$\left(5 \cos{\left(- (- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}) \right)} + \cos{\left(2 \left(- \frac{2 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)}\right) + 3 \geq 0$$

       /1   pi\        /1    pi\     
3 - cos|- + --| - 5*sin|-- + --| >= 0
       \5   3 /        \10   6 /     

pero

       /1   pi\        /1    pi\    
3 - cos|- + --| - 5*sin|-- + --| < 0
       \5   3 /        \10   6 /    

Entonces
$$x \leq - \frac{2 \pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{2 \pi}{3} \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2