Sr Examen

sin(x)+cos(x)<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
sin(x) + cos(x) < 0
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} < 0$$
sin(x) + cos(x) < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
cambiamos:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = -1$$
o
$$\tan{\left(x \right)} = -1$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(1 \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} < 0$$
$$\sin{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} + \cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} < 0$$
   /  1    pi       \      /  1    pi       \    
cos|- -- + -- + pi*n| + sin|- -- + -- + pi*n| < 0
   \  10   4        /      \  10   4        /    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \pi n + \frac{\pi}{4}$$
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /3*pi          7*pi\
And|---- < x, x < ----|
   \ 4             4  /
$$\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{4}$$
(3*pi/4 < x)∧(x < 7*pi/4)
Respuesta rápida 2 [src]
 3*pi  7*pi 
(----, ----)
  4     4   
$$x\ in\ \left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)$$
x in Interval.open(3*pi/4, 7*pi/4)