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Resolver desigualdades/ sin(x)-cos(x)<0

sin(x)-cos(x)<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x) - cos(x) < 0
sin⁡(x)−cos⁡(x)<0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0 
sin(x) - cos(x) < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)−cos⁡(x)<0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)−cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
cambiamos:
sin⁡(x)cos⁡(x)=1\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 1
o
tan⁡(x)=1\tan{\left(x \right)} = 1
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+atan⁡(−1)x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(-1 \right)}
O
x=πn−π4x = \pi n - \frac{\pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
x1=πn−π4x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}
x1=πn−π4x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}
Las raíces dadas
x1=πn−π4x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn−π4)+−110\left(\pi n - \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn−π4−110\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)−cos⁡(x)<0\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} < 0
sin⁡(πn−π4−110)−cos⁡(πn−π4−110)<0\sin{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} - \cos{\left(\pi n - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} < 0
     /1    pi       \      /1    pi       \    
- cos|-- + -- - pi*n| - sin|-- + -- - pi*n| < 0
     \10   4        /      \10   4        /

pero
     /1    pi       \      /1    pi       \    
- cos|-- + -- - pi*n| - sin|-- + -- - pi*n| > 0
     \10   4        /      \10   4        /

Entonces
x<πn−π4x < \pi n - \frac{\pi}{4}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x>πn−π4x > \pi n - \frac{\pi}{4}
         _____  
        /
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050605-5
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi]
    4       4
x in [0,π4)∪(5π4,2π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right] 
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/4), Interval.Lopen(5*pi/4, 2*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /            pi\     /           5*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= 2*pi, ---- < x||
  \   \            4 /     \            4      //
(0≤x∧x<π4)∨(x≤2π∧5π4<x)\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \frac{5 \pi}{4} < x\right) 
((0 <= x)∧(x < pi/4))∨((x <= 2*pi)∧(5*pi/4 < x))
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