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Resolver desigualdades/ cos(2*x)*cos(x)-sin(2*x)*sin(x)<-1

cos(2*x)*cos(x)-sin(2*x)*sin(x)<-1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
cos(2*x)*cos(x) - sin(2*x)*sin(x) < -1
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)<−1- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} < -1 
-sin(x)*sin(2*x) + cos(x)*cos(2*x) < -1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)<−1- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} < -1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)=−1- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = -1
Resolvemos:
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=πx_{5} = \pi
x6=5π3x_{6} = \frac{5 \pi}{3}
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=πx_{5} = \pi
x6=5π3x_{6} = \frac{5 \pi}{3}
Las raíces dadas
x1=−5π3x_{1} = - \frac{5 \pi}{3}
x2=−πx_{2} = - \pi
x3=−π3x_{3} = - \frac{\pi}{3}
x4=π3x_{4} = \frac{\pi}{3}
x5=πx_{5} = \pi
x6=5π3x_{6} = \frac{5 \pi}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−5π3−110- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10}
=
−5π3−110- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
−sin⁡(x)sin⁡(2x)+cos⁡(x)cos⁡(2x)<−1- \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} < -1
−sin⁡(−5π3−110)sin⁡(2(−5π3−110))+cos⁡(−5π3−110)cos⁡(2(−5π3−110))<−1- \sin{\left(- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} \sin{\left(2 \left(- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \cos{\left(- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} \cos{\left(2 \left(- \frac{5 \pi}{3} - \frac{1}{10}\right) \right)} < -1
     /1   pi\    /1    pi\      /1    pi\    /1   pi\     
- cos|- + --|*sin|-- + --| - cos|-- + --|*sin|- + --| < -1
     \5   3 /    \10   6 /      \10   6 /    \5   3 /

pero
     /1   pi\    /1    pi\      /1    pi\    /1   pi\     
- cos|- + --|*sin|-- + --| - cos|-- + --|*sin|- + --| > -1
     \5   3 /    \10   6 /      \10   6 /    \5   3 /

Entonces
x<−5π3x < - \frac{5 \pi}{3}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>−5π3∧x<−πx > - \frac{5 \pi}{3} \wedge x < - \pi
         _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4      x5      x6

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x>−5π3∧x<−πx > - \frac{5 \pi}{3} \wedge x < - \pi
x>−π3∧x<π3x > - \frac{\pi}{3} \wedge x < \frac{\pi}{3}
x>π∧x<5π3x > \pi \wedge x < \frac{5 \pi}{3}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-100-80-60-40-20204060801002-2
Respuesta rápida
Esta desigualdad no tiene soluciones
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