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Resolver desigualdades/ cos(pi*x)<0

cos(pi*x)<0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
cos(pi*x) < 0
cos⁡(πx)<0\cos{\left(\pi x \right)} < 0 
cos(pi*x) < 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(πx)<0\cos{\left(\pi x \right)} < 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(πx)=0\cos{\left(\pi x \right)} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(πx)=0\cos{\left(\pi x \right)} = 0
es la ecuación trigonométrica más simple
cambiando el signo de 0

Obtenemos:
cos⁡(πx)=0\cos{\left(\pi x \right)} = 0
Esta ecuación se reorganiza en
πx=πn+acos⁡(0)\pi x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
πx=πn−π+acos⁡(0)\pi x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}
O
πx=πn+π2\pi x = \pi n + \frac{\pi}{2}
πx=πn−π2\pi x = \pi n - \frac{\pi}{2}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
π\pi
x1=πn+π2πx_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi}
x2=πn−π2πx_{2} = \frac{\pi n - \frac{\pi}{2}}{\pi}
x1=πn+π2πx_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi}
x2=πn−π2πx_{2} = \frac{\pi n - \frac{\pi}{2}}{\pi}
Las raíces dadas
x1=πn+π2πx_{1} = \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi}
x2=πn−π2πx_{2} = \frac{\pi n - \frac{\pi}{2}}{\pi}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
πn+π2π+−110\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi} + - \frac{1}{10}
=
πn+π2π−110\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(πx)<0\cos{\left(\pi x \right)} < 0
cos⁡(π(πn+π2π−110))<0\cos{\left(\pi \left(\frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi} - \frac{1}{10}\right) \right)} < 0
   /   /       pi       \\    
   |   |       -- + pi*n||    
   |   |  1    2        || < 0
cos|pi*|- -- + ---------||    
   \   \  10       pi   //

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<πn+π2πx < \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<πn+π2πx < \frac{\pi n + \frac{\pi}{2}}{\pi}
x>πn−π2πx > \frac{\pi n - \frac{\pi}{2}}{\pi}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
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