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sin(x)<1/5
Resolver desigualdades/ sin(x)<1/5

sin(x)<1/5 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
sin(x) < 1/5
sin⁡(x)<15\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{5} 
sin(x) < 1/5
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x)<15\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{5}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x)=15\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{5}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=15\sin{\left(x \right)} = \frac{1}{5}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(15)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x=2πn−asin⁡(15)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(15)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x=2πn−asin⁡(15)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
x1=2πn+asin⁡(15)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x2=2πn−asin⁡(15)+πx_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
x1=2πn+asin⁡(15)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x2=2πn−asin⁡(15)+πx_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
Las raíces dadas
x1=2πn+asin⁡(15)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x2=2πn−asin⁡(15)+πx_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(2πn+asin⁡(15))+−110\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}\right) + - \frac{1}{10}
=
2πn−110+asin⁡(15)2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x)<15\sin{\left(x \right)} < \frac{1}{5}
sin⁡(2πn−110+asin⁡(15))<15\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} \right)} < \frac{1}{5}
sin(-1/10 + 2*pi*n + asin(1/5)) < 1/5

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<2πn+asin⁡(15)x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<2πn+asin⁡(15)x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)}
x>2πn−asin⁡(15)+πx > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{5} \right)} + \pi
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050602-2
Respuesta rápida [src] 
  /   /                /  ___\\     /                    /  ___\    \\
  |   |                |\/ 6 ||     |                    |\/ 6 |    ||
Or|And|0 <= x, x < atan|-----||, And|x <= 2*pi, pi - atan|-----| < x||
  \   \                \  12 //     \                    \  12 /    //
(0≤x∧x<atan⁡(612))∨(x≤2π∧π−atan⁡(612)<x)\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}\right) \vee \left(x \leq 2 \pi \wedge \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)} < x\right) 
((0 <= x)∧(x < atan(sqrt(6)/12)))∨((x <= 2*pi)∧(pi - atan(sqrt(6)/12) < x))
Respuesta rápida 2 [src] 
        /  ___\              /  ___\       
        |\/ 6 |              |\/ 6 |       
[0, atan|-----|) U (pi - atan|-----|, 2*pi]
        \  12 /              \  12 /
x in [0,atan⁡(612))∪(π−atan⁡(612),2π]x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}\right) \cup \left(\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}, 2 \pi\right] 
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(sqrt(6)/12)), Interval.Lopen(pi - atan(sqrt(6)/12), 2*pi))
Gráfico
sin(x)<1/5 desigualdades
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