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Resolver desigualdades/ log(x^2+2x-3)<=1

log(x^2+2x-3)<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   / 2          \     
log\x  + 2*x - 3/ <= 1
log⁡((x2+2x)−3)≤1\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3 \right)} \leq 1 
log(x^2 + 2*x - 3) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡((x2+2x)−3)≤1\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3 \right)} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡((x2+2x)−3)=1\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3 \right)} = 1
Resolvemos:
x1=−1+e+4x_{1} = -1 + \sqrt{e + 4}
x2=−e+4−1x_{2} = - \sqrt{e + 4} - 1
x1=−1+e+4x_{1} = -1 + \sqrt{e + 4}
x2=−e+4−1x_{2} = - \sqrt{e + 4} - 1
Las raíces dadas
x2=−e+4−1x_{2} = - \sqrt{e + 4} - 1
x1=−1+e+4x_{1} = -1 + \sqrt{e + 4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x2x_{0} \leq x_{2}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x2−110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
=
(−e+4−1)+−110\left(- \sqrt{e + 4} - 1\right) + - \frac{1}{10}
=
−e+4−1110- \sqrt{e + 4} - \frac{11}{10}
lo sustituimos en la expresión
log⁡((x2+2x)−3)≤1\log{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 3 \right)} \leq 1
log⁡(−3+(2(−e+4−1110)+(−e+4−1110)2))≤1\log{\left(-3 + \left(2 \left(- \sqrt{e + 4} - \frac{11}{10}\right) + \left(- \sqrt{e + 4} - \frac{11}{10}\right)^{2}\right) \right)} \leq 1
   /                         2              \     
   |  26   /  11     _______\        _______|     
log|- -- + |- -- - \/ 4 + E |  - 2*\/ 4 + E | <= 1
   \  5    \  10            /               /

pero
   /                         2              \     
   |  26   /  11     _______\        _______|     
log|- -- + |- -- - \/ 4 + E |  - 2*\/ 4 + E | >= 1
   \  5    \  10            /               /

Entonces
x≤−e+4−1x \leq - \sqrt{e + 4} - 1
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥−e+4−1∧x≤−1+e+4x \geq - \sqrt{e + 4} - 1 \wedge x \leq -1 + \sqrt{e + 4}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-50-40-30-20-101020304050-1010
Respuesta rápida 2 [src] 
        _______                   _______ 
[-1 - \/ 4 + E , -3) U (1, -1 + \/ 4 + E ]
x in [−e+4−1,−3)∪(1,−1+e+4]x\ in\ \left[- \sqrt{e + 4} - 1, -3\right) \cup \left(1, -1 + \sqrt{e + 4}\right] 
x in Union(Interval.Lopen(1, -1 + sqrt(E + 4)), Interval.Ropen(-sqrt(E + 4) - 1, -3))
Respuesta rápida [src] 
  /   /            _______       \     /       _______             \\
Or\And\x <= -1 + \/ 4 + E , 1 < x/, And\-1 - \/ 4 + E  <= x, x < -3//
(x≤−1+e+4∧1<x)∨(−e+4−1≤x∧x<−3)\left(x \leq -1 + \sqrt{e + 4} \wedge 1 < x\right) \vee \left(- \sqrt{e + 4} - 1 \leq x \wedge x < -3\right) 
((1 < x)∧(x <= -1 + sqrt(4 + E)))∨((x < -3)∧(-1 - sqrt(4 + E) <= x))
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